Матрица ступенчатого вида (row echelon form, REF) — это специальная форма представления матрицы, которая упрощает решение системы линейных уравнений (СЛАУ) и позволяет легко определить ранг матрицы. Преобразование матрицы к ступенчатому виду - это один из этапов решения СЛАУ методом Гаусса.

Определение матрицы ступенчатого вида:

Матрица находится в ступенчатом виде, если выполняются следующие условия:

1. Нулевые строки внизу: Все нулевые строки (строки, состоящие только из нулей) находятся внизу матрицы.
2. Ведущие элементы справа: Для каждой ненулевой строки, ведущий элемент (leading entry) - это первый ненулевой элемент в строке, отсчитывая слева направо. Ведущий элемент каждой строки должен находиться правее ведущего элемента предыдущей строки.
3. Нули под ведущими элементами: Все элементы под ведущими элементами должны быть равны нулю.

Работает пропорциональный регулятор, чтобы привести робота в желаемое положение. Однако из-за трения о поверхность он немного недоехал. Какую составляющую можно добавить к регулятору, чтобы робот все-таки смог достичь цели?

Построение матрицы  \(  A  \)  для заданных условий

Условия:
1. Даны три различных вектора: \( (\mathbf{b}_1 ), ( \mathbf{b}_2 ), ( \mathbf{b}_3) \).
2. Системы \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_1 \) и \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_2 \) должны иметь решение.
3. Система \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_3 \) не должна иметь решения.

Показать, что система уравнений не имеет решений.

\(\left  \{\begin{matrix} x & -y & =2 \\ -2x & -y & =6 \\ -0.5x & -y & =0 \\ \end{matrix} \right.\)

Работал пропорциональный регулятор, чтобы привести робота в желаемое положение. Однако по причине инерции он несколько раз перелетел желаемую точку, прежде чем остановиться. Какую составляющую можно добавить к регулятору, чтобы робот уменьшить этот эффект?

Если робот несколько раз перелетал желаемую точку из-за инерции, то для уменьшения этого эффекта можно добавить **дифференциальную составляющую** к регулятору. Это позволит компенсировать быстро меняющиеся ошибки и уменьшить перерегулирование.

Найти проекцию \(b = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\) на вектор колонок матрицы \(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ -1 & -1\\ \end{bmatrix}\)

Найти вектор, который будет ортогональным этому пространству.

Метод наименьших квадратов является мощным инструментом для аппроксимации данных и нахождения зависимостей между переменными. Он минимизирует сумму квадратов отклонений между наблюдаемыми значениями и значениями, предсказанными моделью. В линейных моделях существуют аналитические решения, но для нелинейных моделей часто применяются численные методы оптимизации.

  \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) 

Давайте разберем уравнение проекции \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) и определим размерность результата, когда векторы \(\mathbf{a}_1\) находятся в пространстве \(\mathbb{R}^2\).

В библиотеке SymPy (Python) матрицы можно задавать различными способами в зависимости от удобства и типа матрицы. Рассмотрим основные методы.  

В контексте систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), понятия “полное решение” и “частное решение” имеют важное значение для понимания структуры множества решений.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - это набор уравнений вида:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

Метод Гаусса (или метод Гауссова исключения) - это один из наиболее фундаментальных и широко используемых алгоритмов в линейной алгебре для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он также применяется для нахождения ранга матрицы, вычисления определителя, нахождения обратной матрицы и решения других задач.

\(\frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\)

Векторы \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{b}\) находятся в пространстве \(\mathbb{R}^2\). Уравнение проекции \(\frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) представляет собой скалярное выражение. Давайте разберемся, что означает это уравнение и какая размерность у результата.

❔Как наиболее ёмко на языке Python записать следующее математическое условие:

 \(x \in (20, 30)\cup [0, 20] \cup (30, 40)\)

Вот наиболее ёмкий и читаемый способ записи этого математического условия на Python:

def check_x(x):
  return any((-100 < x < -20, 0 <= x < 20, 30 < x < 40))

Описать пространство столбцов и пространство строк для матрицы:

$$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}$$

1. Пространство столбцов (Column Space) - C(A):

Описание: Пространство столбцов C(A) — это множество всех линейных комбинаций столбцов матрицы A. Поскольку A имеет два столбца, это множество всех векторов, которые можно получить как c1 * [1, 2, 3]ᵀ + c2 * [4, 7, 5]ᵀ, где c1 и c2 - произвольные скаляры.

На языке Python, переполнение точности (в смысле выхода за пределы представимых чисел) не происходит так, как это происходит в языках с фиксированной длиной целых чисел (например, C или Java с типом int​). Python использует целые числа произвольной точности (тип int​), поэтому он может представлять очень большие числа без потери информации.

Однако, когда числа становятся очень большими, возникают другие ограничения:

1. Ограничения памяти: Для хранения очень больших чисел требуется много памяти. Если число становится настолько большим, что превышает доступную память, программа может завершиться с ошибкой MemoryError​.
2. Ограничения времени вычислений: Операции с очень большими числами занимают больше времени. Возведение в степень - это операция, которая быстро увеличивает размер числа, поэтому для больших степеней время вычисления становится значительным.
3. Представление с плавающей точкой: Если результат возведения в степень преобразуется в число с плавающей точкой (тип float​), то точность будет ограничена. Числа с плавающей точкой имеют фиксированную точность (обычно 53 бита для мантиссы), поэтому, когда число превышает эту точность, происходит потеря информации.