Система уравнений с отсутствием решений

Показать, что система уравнений не имеет решений.

\(\left  \{\begin{matrix} x & -y & =2 \\ -2x & -y & =6 \\ -0.5x & -y & =0 \\ \end{matrix} \right.\)

Давайте проверим, имеет ли система уравнений решение. Мы можем использовать методы исключения Гаусса или матричный подход для анализа системы.

1. Матричный подход:

Представим систему в матричном виде:

 
\( \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-2 & -1 \\
-0.5 & -1 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 \\
6 \\ 0
\end{bmatrix}\)

Или расширенная матрица: 
 
\( \begin{bmatrix}
1 & -1 & | 2\\
-2 & -1 & | 6\\
-0.5 & -1 & | 0\\
\end{bmatrix}\)

Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду.

Шаг 1: Сделаем нули под элементом \(a_{11}\) (то есть под 1 в первом столбце):

Прибавим к второй строке первую, умноженную на 2: \(R2 = R2 + 2*R1\)
Прибавим к третьей строке первую, умноженную на 0.5: \(R3 = R3 + 0.5*R1\)

\( \begin{bmatrix}
1 & -1 & | 2\\
0 & -3 & | 10\\
0 & -1.5 & | 1\\
\end{bmatrix}\)
 
Шаг 2: Сделаем нуль под элементом \(a_{22}\) (то есть под -3 во втором столбце):

Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 0.5: \(R3 = R3 - 0.5*R2\)

\( \begin{bmatrix}
1 & -1 & | 2\\
0 & -3 & | 10\\
0 & 0 & | -4\\
\end{bmatrix}\) 

Последняя строка соответствует уравнению \(0x + 0y = -4\), что, очевидно, не имеет решения.

2. Метод исключения:

Из первого уравнения выразим \(x\):

\(x = y + 2\)

Подставим это выражение во второе и третье уравнения:

\(-2(y + 2) - y = 6\) => \(-2y - 4 - y = 6\) => \(-3y = 10\) => \(y = -10/3\)
\(-0.5(y + 2) - y = 0\) => \(-0.5y - 1 - y = 0\) => \(-1.5y = 1\) => \( y = -2/3\)

Получаем два разных значения для \(y\), что невозможно. Следовательно, система не имеет решений.

Вывод:

Результат, что система не имеет решений, верен. Последняя строка в ступенчатом виде матрицы (или противоречивые значения для y, полученные методом исключения) указывают на несовместность системы уравнений.