Переполнение точности в Python

На языке Python, переполнение точности (в смысле выхода за пределы представимых чисел) не происходит так, как это происходит в языках с фиксированной длиной целых чисел (например, C или Java с типом int​). Python использует целые числа произвольной точности (тип int​), поэтому он может представлять очень большие числа без потери информации.

Однако, когда числа становятся очень большими, возникают другие ограничения:

1. Ограничения памяти: Для хранения очень больших чисел требуется много памяти. Если число становится настолько большим, что превышает доступную память, программа может завершиться с ошибкой MemoryError​.
2. Ограничения времени вычислений: Операции с очень большими числами занимают больше времени. Возведение в степень - это операция, которая быстро увеличивает размер числа, поэтому для больших степеней время вычисления становится значительным.
3. Представление с плавающей точкой: Если результат возведения в степень преобразуется в число с плавающей точкой (тип float​), то точность будет ограничена. Числа с плавающей точкой имеют фиксированную точность (обычно 53 бита для мантиссы), поэтому, когда число превышает эту точность, происходит потеря информации.

Пример кода для демонстрации роста числа и возможной потери точности при преобразовании в float:

python

import sys
import time

n = 1
start_time = time.time()
while True:
  result_int = 2**n
  end_time = time.time()
  elapsed_time = end_time - start_time
  num_digits = len(str(result_int))  # количество десятичных цифр в числе

  print(f"2^{n} = {result_int} (digits: {num_digits}, time: {elapsed_time:.4f}s)")

  # Проверяем потерю точности при преобразовании в float
  result_float = float(result_int)
  if result_int != int(result_float):
    print(f"Потеря точности при преобразовании в float на степени {n}")
    break

  if elapsed_time > 1: # остановить если каждое умножение занимает больше 1 секунды
      print("Вычисления занимают слишком много времени, остановка")
      break
  if sys.getsizeof(result_int) > 2**20: # остановить если число занимает больше 1 Мб памяти.
      print("Занимает слишком много памяти, остановка")
      break

  n += 1

Что делает этот код:

1. Итерирует степени ​n​​ : Перебирает натуральные числа, начиная с 1.
2. Вычисляет \(2^n\): Вычисляет 2**n​ как целое число (тип int​).
3. Измеряет время: Замеряет время, затраченное на вычисление.
4. Выводит результат и количество цифр: Печатает результат, количество десятичных цифр в числе и время вычисления.
5. Проверяет потерю точности ​float​​ : Преобразует целое число в число с плавающей точкой и сравнивает его с исходным целым числом. Если они отличаются, значит, произошла потеря точности, и цикл завершается.
6. Ограничивает время и память: Останавливает вычисления, если они занимают слишком много времени, или если число занимает слишком много места в памяти.

Как интерпретировать результаты

• Потеря точности ​float​​ : Вы увидите, на какой степени n​ происходит потеря точности при преобразовании результата в число с плавающей точкой. Это происходит потому, что float​ имеет ограниченное количество бит для представления мантиссы числа.
• Время вычислений: Обратите внимание на время, необходимое для вычисления 2**n​. По мере увеличения n​ время будет экспоненциально расти.
• Размер числа (в цифрах): Количество десятичных цифр в числе будет увеличиваться с ростом n​.
• MemoryError: Если вы продолжите увеличивать n​, в конечном итоге может произойти MemoryError​, когда число станет слишком большим, чтобы поместиться в памяти.

Примерный результат (зависит от системы):

Вывод программы будет выглядеть примерно так (значения могут отличаться на разных компьютерах):

2^1 = 2 (digits: 1, time: 0.0000s)
2^2 = 4 (digits: 1, time: 0.0000s)
2^3 = 8 (digits: 1, time: 0.0000s)
...
2^52 = 4503599627370496 (digits: 16, time: 0.0000s)
2^53 = 9007199254740992 (digits: 16, time: 0.0000s)
Потеря точности при преобразовании в float на степени 53

В этом примере потеря точности при преобразовании в float​ происходит при n = 53​. Это связано с тем, что float​ (обычно double-precision) имеет около 53 бит точности для мантиссы. После этого значения float​ не могут точно представить все целые числа. Время вычисления на ранних этапах почти незаметно.

Вывод:

В Python, используя тип int​, вы не столкнетесь с переполнением точности в том смысле, как это происходит в языках с фиксированной длиной целых чисел. Вы столкнетесь с ограничениями по памяти и времени вычислений. При преобразовании в float​, точность ограничена, и потеря информации начинается примерно при степени 53. Приведенный выше код позволяет экспериментально определить, когда это произойдет на вашей системе.