Найти проекцию \( b \) на вектор колонок матрицы \( A \)

Найти проекцию \(b = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\) на вектор колонок матрицы \(A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1\\ 1 & 1\\ -1 & -1\\ \end{bmatrix}\)

Найти вектор, который будет ортогональным этому пространству.

Решение

Для нахождения проекции вектора \(\mathbf{b}\) на вектор-столбец матрицы \(\mathbf{A}\), а затем нахождения вектора, ортогонального этому пространству, выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найти проекцию \(\mathbf{b}\) на вектор-столбец матрицы \(\mathbf{A}\)

Пусть \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\) — это столбцы матрицы \(\mathbf{A}\):

\[
\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}
\]

Проекция вектора \(\mathbf{b}\) на столбец \(\mathbf{a}_1\):

\[
\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}
\]

Проекция \(\mathbf{b}\) на \(\mathbf{a}_1\):

\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}_1} \mathbf{b} = \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1} \mathbf{a}_1
\]

Вычислим скалярное произведение \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_1\):

\[
\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_1 = 2(-1) + 1(1) + (-3)(1) + 1(-1) = -2 + 1 - 3 - 1 = -5
\]

Вычислим скалярное произведение \(\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1\):

\[
\mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1 = (-1)^2 + 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
\]

Теперь найдем проекцию:

\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}_1} \mathbf{b} = \frac{-5}{4} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{5}{4} \\ -\frac{5}{4} \\ \frac{5}{4} \end{bmatrix}
\]

Шаг 2: Найти проекцию \(\mathbf{b}\) на вектор-столбец \(\mathbf{a}_2\)

Проекция \(\mathbf{b}\) на \(\mathbf{a}_2\):

\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}_2} \mathbf{b} = \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2} \mathbf{a}_2
\]

Вычислим скалярное произведение \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_2\):

\[
\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}_2 = 2(1) + 1(1) + (-3)(1) + 1(-1) = 2 + 1 - 3 - 1 = -1
\]

Вычислим скалярное произведение \(\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2\):

\[
\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
\]

Теперь найдем проекцию:

\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{a}_2} \mathbf{b} = \frac{-1}{4} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \end{bmatrix}
\]

Шаг 3: Найти полную проекцию \(\mathbf{b}\) на пространство, порожденное столбцами \(\mathbf{A}\)

Полная проекция \(\mathbf{b}\) на пространство, порожденное столбцами \(\mathbf{A}\), равна сумме проекций на каждый столбец:

\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{A}} \mathbf{b} = \operatorname{proj}_{\mathbf{a}_1} \mathbf{b} + \operatorname{proj}_{\mathbf{a}_2} \mathbf{b}
\]

\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{A}} \mathbf{b} = \begin{bmatrix} \frac{5}{4} \\ -\frac{5}{4} \\ -\frac{5}{4} \\ \frac{5}{4} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{4} - \frac{1}{4} \\ -\frac{5}{4} - \frac{1}{4} \\ -\frac{5}{4} - \frac{1}{4} \\ \frac{5}{4} + \frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}
\]

Шаг 4: Найти вектор, ортогональный пространству, порожденному столбцами \(\mathbf{A}\)

Вектор, ортогональный пространству, порожденному столбцами \(\mathbf{A}\), можно найти как разность между исходным вектором \(\mathbf{b}\) и его проекцией на это пространство:

\[
\mathbf{v}_{\text{ortho}} = \mathbf{b} - \operatorname{proj}_{\mathbf{A}} \mathbf{b}
\]

\[
\mathbf{v}_{\text{ortho}} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 - 1 \\ 1 - (-2) \\ -3 - (-2) \\ 1 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}
\]

Заключение

Проекция вектора \(\mathbf{b}\) на пространство, порожденное столбцами матрицы \(\mathbf{A}\), равна:

\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{A}} \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}
\]

Вектор, ортогональный этому пространству, равен:

\[
\mathbf{v}_{\text{ortho}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}
\]