Прикладная линейная алгебра

Матрица ступенчатого вида (row echelon form, REF) — это специальная форма представления матрицы, которая упрощает решение системы линейных уравнений (СЛАУ) и позволяет легко определить ранг матрицы. Преобразование матрицы к ступенчатому виду - это один из этапов решения СЛАУ методом Гаусса.

Определение матрицы ступенчатого вида:

Матрица находится в ступенчатом виде, если выполняются следующие условия:

1. Нулевые строки внизу: Все нулевые строки (строки, состоящие только из нулей) находятся внизу матрицы.
2. Ведущие элементы справа: Для каждой ненулевой строки, ведущий элемент (leading entry) - это первый ненулевой элемент в строке, отсчитывая слева направо. Ведущий элемент каждой строки должен находиться правее ведущего элемента предыдущей строки.
3. Нули под ведущими элементами: Все элементы под ведущими элементами должны быть равны нулю.

Метод наименьших квадратов является мощным инструментом для аппроксимации данных и нахождения зависимостей между переменными. Он минимизирует сумму квадратов отклонений между наблюдаемыми значениями и значениями, предсказанными моделью. В линейных моделях существуют аналитические решения, но для нелинейных моделей часто применяются численные методы оптимизации.

  \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) 

Давайте разберем уравнение проекции \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) и определим размерность результата, когда векторы \(\mathbf{a}_1\) находятся в пространстве \(\mathbb{R}^2\).

В контексте систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), понятия “полное решение” и “частное решение” имеют важное значение для понимания структуры множества решений.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - это набор уравнений вида:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

Метод Гаусса (или метод Гауссова исключения) - это один из наиболее фундаментальных и широко используемых алгоритмов в линейной алгебре для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он также применяется для нахождения ранга матрицы, вычисления определителя, нахождения обратной матрицы и решения других задач.

\(\frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\)

Векторы \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{b}\) находятся в пространстве \(\mathbb{R}^2\). Уравнение проекции \(\frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) представляет собой скалярное выражение. Давайте разберемся, что означает это уравнение и какая размерность у результата.

Векторная проекция вектора \(\mathbf{a}\) на ненулевой вектор \(\mathbf{b}\) — это вектор, который представляет собой ортогональную проекцию вектора \(\mathbf{a}\) на прямую, определяемую вектором \(\mathbf{b}\). Векторная проекция обозначается как \(\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\).

Программирование, как и прикладная математика, достаточно часто сталкивается с потребностью хранить и обрабатывать большие наборы чисел.  Какие существуют способы хранения упорядоченных данных? Один из ответов на этот вопрос — матрицы. 

Матрицей размера ‌m×n‌​ называют прямоугольную таблицу чисел, в которой m строк и n  столбцов:

‌$$A=(a_{ij})=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12} & ... & a_{1n}\cr a_{21}&a_{22}&...&a_{21}\cr ... & ... & ... & ...\cr a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}$$

Каждый элемент матрицы имеет свой адрес — индексы, посредством которых происходит обращение к ним. Например, чтобы получить элемент, находящийся на пересечении  i-й строки и  j-го столбца из матрицы A мы записываем ‌\(a_{ij}\) .

Метод обратной подстановки (back substitution) — это метод решения системы линейных уравнений (СЛАУ), представленной в ступенчатом или приведенном ступенчатом виде. Он используется после того, как матрица системы уравнений приведена к такому виду с помощью метода Гаусса или других методов приведения к ступенчатой форме.

Суть метода обратной подстановки:

1. Использование ступенчатой формы: Метод использует упрощенную структуру ступенчатой (или приведенной ступенчатой) матрицы, чтобы последовательно находить значения неизвестных переменных, начиная с конца системы уравнений.
2. Решение последнего уравнения: Из последнего уравнения (которое содержит только одну переменную в ступенчатой форме) находят значение этой переменной.
3. Подстановка вверх: Полученное значение переменной подставляют в предпоследнее уравнение, из которого находят значение следующей переменной.
4. Повторение: Продолжают подстановку значений найденных переменных в уравнения, расположенные выше, пока не будут найдены значения всех переменных.