Векторная проекция вектора \(a\) на ненулевой вектор \(b\)
Векторная проекция вектора \(\mathbf{a}\) на ненулевой вектор \(\mathbf{b}\) — это вектор, который представляет собой ортогональную проекцию вектора \(\mathbf{a}\) на прямую, определяемую вектором \(\mathbf{b}\). Векторная проекция обозначается как \(\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\).
Формула для векторной проекции
Векторная проекция вектора \(\mathbf{a}\) на вектор \(\mathbf{b}\) вычисляется по следующей формуле:
\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} \right) \mathbf{b}
\]
где:
- \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\),
- \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение вектора \(\mathbf{b}\) с самим собой, что равно квадрату длины вектора \(\mathbf{b}\) (\(\|\mathbf{b}\|^2\)).
Интерпретация
1. Скалярное произведение \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\): Это величина, которая показывает, насколько векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) направлены в одном направлении. Если \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) параллельны, то \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).
2. Деление на \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}\): Это нормализует скалярное произведение, чтобы получить коэффициент проекции. Это эквивалентно делению на квадрат длины вектора \(\mathbf{b}\), что позволяет получить проекцию в терминах единичного вектора \(\mathbf{b}\).
3. Умножение на \(\mathbf{b}\): Это масштабирует единичный вектор \(\mathbf{b}\) на коэффициент проекции, получая вектор, который является ортогональной проекцией \(\mathbf{a}\) на \(\mathbf{b}\).
Пример
Рассмотрим два вектора \(\mathbf{a} = (3, 4)\) и \(\mathbf{b} = (1, 2)\).
1. Скалярное произведение:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11
\]
2. Квадрат длины вектора \(\mathbf{b}\):
\[
\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5
\]
3. Векторная проекция:
\[
\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \left( \frac{11}{5} \right) \mathbf{b} = \left( \frac{11}{5} \right) (1, 2) = \left( \frac{11}{5}, \frac{22}{5} \right)
\]
Свойства векторной проекции
1. Ортогональность: Векторная проекция \(\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\) является ортогональной проекцией, то есть вектор \(\mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\) перпендикулярен вектору \(\mathbf{b}\).
2. Линейность: Векторная проекция является линейной операцией, то есть \(\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} (c_1 \mathbf{a}_1 + c_2 \mathbf{a}_2) = c_1 \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}_1 + c_2 \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}_2\) для любых скаляров \(c_1\) и \(c_2\) и векторов \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_2\).
3. Идемпотентность: Векторная проекция является идемпотентной операцией, то есть \(\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} (\operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}) = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}\).
Заключение
Векторная проекция — это важный инструмент в линейной алгебре и геометрии, который позволяет находить ортогональную проекцию одного вектора на другой. Она находит применение в различных областях, таких как физика, инженерия, компьютерная графика и анализ данных.