Геометрический смысл решений системы линейных уравнений
Геометрический смысл решения системы линейных уравнений
Давайте рассмотрим, как ранг матрицы связан с решением системы линейных уравнений и как это интерпретируется геометрически для точки, прямой и 3D-пространства.
1. Общая система линейных уравнений:
Рассмотрим систему Ax = b, где:
- A - матрица m × n (m уравнений, n переменных).
- x - вектор-столбец переменных размера n × 1.
- b - вектор-столбец констант размера m × 1.
Ранг матрицы (rank(A)):
Ранг матрицы A – это количество линейно независимых строк (или столбцов) в A. Важно также рассмотреть ранг расширенной матрицы [A | b], которая получается добавлением столбца b к матрице A.
Теорема Кронекера-Капелли (Rouche–Capelli theorem):
Эта теорема является основополагающей для определения разрешимости системы:
- Система Ax = b совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда \(rank(A)= rank([A|b])\).
- Если \(rank(A)= rank([A|b]) = n\), где n - число переменных, то система имеет единственное решение.
- Если \(rank(A)= rank([A|b]) ‹ n \), то система имеет бесконечно много решений. Число свободных переменных (параметров) в решении равно n - rank(A).
- Если \(rank(A) = rank([A | b]) › n\), то система несовместна (не имеет решений).
2. Геометрическая интерпретация в зависимости от ранга и размерности:
Давайте рассмотрим несколько случаев для наглядности:
2.1. Одна переменная (n = 1), два уравнения (m = 2):
Дана система уравнений:
\(a1*x = b1\)
\(a2*x = b2\)
Матрица \(A\) и расширенная матрица:
\(A = \begin{bmatrix} a1 \\ a2 \end{bmatrix}\), \(A|b = \begin{bmatrix} a1|b1 \\ a2|b2 \end{bmatrix}\)
Случай 1: rank(A) = rank([A | b]) = 1: Это означает, что a1 и a2 пропорциональны, а также b1 и b2 пропорциональны a1 и a2 соответственно. Система имеет единственное решение (точка на числовой прямой). Геометрически, оба уравнения представляют одну и ту же точку на числовой прямой.
Случай 2: rank(A) = 1, rank([A | b]) = 2: Это означает, что a1 и a2 пропорциональны, но b1 и b2 не пропорциональны a1 и a2. Система не имеет решений. Геометрически, уравнения представляют разные точки на числовой прямой, что невозможно для одного значения x.
Случай 3: rank(A) = 0, rank([A | b]) = 1: a1 и a2 равны нулю, b1 или b2 ненулевые. Уравнения выглядят как 0*x = b1 (b1 != 0). Система не имеет решений.
2.2. Две переменные (n = 2), два уравнения (m = 2):
Дана система уравнений:
\(a1*x + b1*y = c1\)
\(a2*x + b2*y = c2\)
Случай 1: rank(A) = rank([A | b]) = 2: Определитель матрицы A не равен нулю. Система имеет единственное решение. Геометрически, уравнения представляют две пересекающиеся прямые на плоскости, и решение - это точка пересечения.
Случай 2: rank(A) = rank([A | b]) = 1: Определитель матрицы A равен нулю, но уравнения пропорциональны. Система имеет бесконечно много решений. Геометрически, уравнения представляют одну и ту же прямую на плоскости. Решения - любая точка на этой прямой. Одна свободная переменная (параметр).
Случай 3: rank(A) = 1, rank([A | b]) = 2: Определитель матрицы A равен нулю, и уравнения не пропорциональны. Система не имеет решений. Геометрически, уравнения представляют параллельные прямые на плоскости, которые не пересекаются.
Случай 4: rank(A) = rank([A | b]) = 0: система состоит только из нулевых строк, поэтому имеет бесконечное количество решений, все (x,y).
2.3. Три переменные (n = 3), три уравнения (m = 3):
Пусть система уравнений:
\(a1*x + b1*y + c1*z = d1\)
\(a2*x + b2*y + c2*z = d2\)
\(a3*x + b3*y + c3*z = d3\)
Случай 1: rank(A) = rank([A | b]) = 3: Определитель матрицы A не равен нулю. Система имеет единственное решение. Геометрически, уравнения представляют три плоскости в трехмерном пространстве, которые пересекаются в одной точке.
Случай 2: rank(A) = rank([A | b]) = 2: Определитель матрицы A равен нулю, но ранг равен 2. Система имеет бесконечно много решений. Геометрически, уравнения представляют три плоскости, которые пересекаются по прямой (одна свободная переменная) или совпадают в одной плоскости (одна свободная переменная).
Случай 3: rank(A) = rank([A | b]) = 1: Ранг равен 1. Система имеет бесконечно много решений. Уравнения представляют одну и ту же плоскость (две свободные переменные), или три совпадающие прямые (это возможно, только если плоскости содержат ось Z), или три совпадающие точки.
Случай 4: rank(A) = 2, rank([A | b]) = 3: Система не имеет решений. Геометрически, уравнения представляют три плоскости, которые не имеют общей точки пересечения (например, две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью).
Случай 5: rank(A) = 1, rank([A | b]) = 2: Система не имеет решений. Уравнения представляют три плоскости, которые попарно пересекаются, но не имеют общей точки пересечения.
Случай 6: rank(A) = rank([A | b]) = 0: система состоит только из нулевых строк, поэтому имеет бесконечное количество решений, все (x,y,z).
Случай 7: rank(A) = 0, rank([A | b]) = 1: A - нулевая матрица, b - ненулевой вектор. Система не имеет решений.
3. Ключевые выводы:
Ранг матрицы A дает информацию о линейной независимости уравнений в системе.
Сравнение ранга матрицы A с рангом расширенной матрицы [A | b] позволяет определить, имеет ли система решение.
Если система имеет решение, то разница между числом переменных и рангом A определяет количество свободных переменных, которые параметризуют множество решений.
Геометрическая интерпретация зависит от числа переменных и уравнений и связана с пересечением точек, прямых, плоскостей или гиперплоскостей.
Понимание связи между рангом матрицы и геометрической интерпретацией решений позволяет визуализировать и анализировать системы линейных уравнений.