Полное и частное решение при решении СЛАУ

В контексте систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), понятия “полное решение” и “частное решение” имеют важное значение для понимания структуры множества решений.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - это набор уравнений вида:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

Где:

* ​x₁, x₂, ..., xₙ - неизвестные переменные.
* ​aᵢⱼ - коэффициенты системы.
* ​bᵢ - свободные члены.

Основные понятия:

Решением СЛАУ называется набор значений переменных (x₁, x₂, ..., xₙ), при подстановке которых все уравнения системы превращаются в верные равенства.

• Совместная СЛАУ -  имеющая хотя бы одно решение.
• Несовместная СЛАУ - не имеющая решений.
• Определённая СЛАУ - имеющая единственное решение.
• Неопределённая СЛАУ - имеющая бесконечное множество решений.
• Однородная СЛАУ -  у которой все свободные члены равны нулю (bᵢ = 0 для всех i). Однородная СЛАУ всегда совместна, т.к. имеет тривиальное решение (все xᵢ = 0).
• Неоднородная СЛАУ - у которой хотя бы один свободный член не равен нулю.

1. Частное решение (Particular Solution):

• Определение: Частное решение СЛАУ – это *конкретный* набор значений переменных, удовлетворяющий системе уравнений. Это *одно* решение из множества всех возможных решений.
• Как найти: Частное решение можно найти, например, задав произвольные значения некоторым переменным (свободным переменным) и выразив через них остальные переменные (базисные переменные). После этого можно подставить эти значения в уравнения системы и убедиться, что они удовлетворяют ей.

Пример:

Рассмотрим систему: x + y = 3

Тогда x = 1, y = 2 является частным решением, т.к. 1 + 2 = 3.

x = 0, y = 3 - тоже частное решение.

2. Полное решение (General Solution):

Определение: Полное решение СЛАУ – это *общее выражение*, описывающее *все* возможные решения системы. Полное решение представляет собой параметрическое описание множества всех решений СЛАУ.
* Как найти: Полное решение находится обычно с помощью метода Гаусса (приведения матрицы системы к ступенчатому виду). После приведения матрицы выделяют базисные и свободные переменные. Базисные переменные выражаются через свободные, а свободным переменным присваиваются параметры.
* Структура полного решения (для совместной СЛАУ): Полное решение состоит из двух частей:

* Частное решение неоднородной системы: Любое конкретное решение неоднородной СЛАУ.
* Общее решение соответствующей однородной системы: Решение однородной системы, полученной из исходной заменой всех свободных членов на нули (bᵢ = 0). Это общее решение выражается через линейную комбинацию фундаментальной системы решений (ФСР).

• Формула полного решения:
  ​Общее решение неоднородной СЛАУ = Частное решение неоднородной СЛАУ + Общее решение однородной СЛАУ
  ​x = x₀ + x₁λ₁ + x₂λ₂ + ... + xₖλₖ
  Где:
• x - общее решение.
• ​x₀ - частное решение неоднородной СЛАУ.
• x₁, x₂, ..., xₖ - фундаментальная система решений однородной СЛАУ.
• λ₁, λ₂, ..., λₖ - произвольные параметры (обычно обозначаются буквами греческого алфавита).

Пример: 

Рассмотрим систему:  x + y = 3

1. Частное решение (одно из возможных): \(x = 0\), \(y = 3\). Обозначим это решение как x₀ = \((0, 3)\).
   2. Однородная система: \(x + y = 0\).
   3. Общее решение однородной системы: \(x = t\), \(y = -t\), где \(t\) - произвольный параметр. Это можно записать как x₁ = \((1, -1) * t\).
   4. Полное решение: \((x, y) = (0, 3) + (1, -1) * t = (t, 3 - t)\) (или \(x = t\), \(y = 3 - t)\).

Теперь, подставляя любое значение t, мы получим решение исходной системы. Например, если \(t = 1\), то \(x = 1\), \(y = 2\).

Важность понимания полного и частного решений:

* Описание всех решений: Полное решение дает полное представление о множестве решений системы, позволяя находить любое конкретное решение, просто задавая значения параметрам.
* Линейная алгебра: Структура полного решения демонстрирует фундаментальные принципы линейной алгебры, такие как суперпозиция решений однородной системы и связь между решениями однородной и неоднородной систем.
* Прикладные задачи: В практических задачах часто требуется найти не просто одно решение, а иметь возможность варьировать параметры решения, чтобы удовлетворить дополнительным условиям или оптимизировать какой-либо критерий. Полное решение предоставляет такую возможность.