Описание простанства колонок и столбцов для матрицы
Описать пространство столбцов и пространство строк для матрицы:
$$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}$$
1. Пространство столбцов (Column Space) - C(A):
Описание: Пространство столбцов C(A) — это множество всех линейных комбинаций столбцов матрицы A. Поскольку A имеет два столбца, это множество всех векторов, которые можно получить как c1 * [1, 2, 3]ᵀ + c2 * [4, 7, 5]ᵀ, где c1 и c2 - произвольные скаляры.
Размерность: Чтобы определить размерность C(A), нужно выяснить, являются ли столбцы матрицы A линейно независимыми. Рассмотрим уравнение:
c1 * [1, 2, 3]ᵀ + c2 * [4, 7, 5]ᵀ = [0, 0, 0]ᵀ
Это эквивалентно системе уравнений:
\(c1 + 4c2 = 0\)
\(2c1 + 7c2 = 0\)
\(3c1 + 5c2 = 0\)
Решим эту систему (например, вычитанием из второй строки первой, умноженной на 2, и из третьей строки первой, умноженной на 3):
\(c1 + 4c2 = 0\)
\(-c2 = 0\)
\(-7c2 = 0\)
Из второго (и третьего) уравнения получаем \(c2 = 0\). Подставляя это в первое уравнение, получаем \(c1 = 0\). Следовательно, столбцы матрицы A линейно независимы.
Таким образом, размерность C(A) равна 2.
Пространство: Поскольку матрица A имеет 3 строки, ее столбцы являются векторами в \(R^3\). Поскольку столбцы линейно независимы, пространство столбцов - это плоскость, проходящая через начало координат в \(R^3\). Эта плоскость "натянута" на векторы [1, 2, 3]ᵀ и [4, 7, 5]ᵀ.
Базис: Базисом для C(A) являются сами столбцы матрицы A: {[1, 2, 3]ᵀ, [4, 7, 5]ᵀ}.
Итог: C(A) - это двумерное подпространство (плоскость) в \(R^3\), порожденное векторами [1, 2, 3]ᵀ и [4, 7, 5]ᵀ.
2. Пространство строк (Row Space) - C(Aᵀ):
Описание: Пространство строк C(Aᵀ) — это множество всех линейных комбинаций строк матрицы A. То есть, это множество всех векторов, которые можно получить как \(c1 * [1, 4] + c2 * [2, 7] + c3 * [3, 5]\), где c1, c2 и c3 - произвольные скаляры. Пространство строк - это пространство столбцов транспонированной матрицы.
Размерность: Чтобы определить размерность C(Aᵀ), нужно найти ранг Aᵀ. Так как ранг Aᵀ равен рангу A, а ранг A = 2 (мы это выяснили, когда определяли линейную независимость столбцов), то размерность C(Aᵀ) равна 2.
Пространство: Поскольку матрица A имеет 2 столбца, ее строки являются векторами в \(R^2\). Пространство строк - это подпространство \(R^2\). Поскольку размерность C(Aᵀ) равна 2, а \(R^2\) тоже имеет размерность 2, C(Aᵀ) совпадает со всем пространством \(R^2\).
Базис: Чтобы найти базис, приведем матрицу A к ступенчатому виду. Вспомним наши вычисления из определения линейной независимости столбцов. Мы делали преобразования над строками:
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}$$
\(R2 = R2 - 2*R1\)
\(R3 = R3 - 3*R1\)
\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -1 \\ 0 & -7 \\ \end{bmatrix}
Теперь \(R3 = R3 - 7*R2\):
\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
Две ненулевые строки [1, 4] и [0, -1] образуют базис для пространства строк. Другой базис можно получить из первых двух строк исходной матрицы: {[1, 4], [2, 7]}.
Итог: C(Aᵀ) - это двумерное подпространство в \(R^2\), совпадающее со всем пространством \(R^2\).
Базис: {[1, 4], [2, 7]} (или {[1, 4], [0, -1]}).
Ключевые моменты:
- Ранг матрицы A равен размерности пространства столбцов и размерности пространства строк.
- Пространство столбцов является подпространством \(R^m\), где m - количество строк A.
- Пространство строк является подпространством \(R^n\), где n - количество столбцов A.
- В данном примере столбцы линейно независимы, поэтому ранг A равен 2.
- Поскольку пространство строк имеет размерность 2 и находится в \(R^2\), оно совпадает со всем \(R^2\).