Найти размерность результата решения уравнения проекции [2]

  \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) 

Давайте разберем уравнение проекции \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) и определим размерность результата, когда векторы \(\mathbf{a}_1\) находятся в пространстве \(\mathbb{R}^2\).

Уравнение проекции

Уравнение \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) включает в себя следующие компоненты:

1. Произведение \(\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T\):
   - \(\mathbf{a}_1\) — это столбец (column vector) размерности \(2 \times 1\).
   - \(\mathbf{a}_1^T\) — это строка (row vector) размерности \(1 \times 2\).
   - Умножение столбца на строку дает матрицу размерности \(2 \times 2\).

   \[
   \mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}^2 & a_{11} a_{12} \\ a_{11} a_{12} & a_{12}^2 \end{pmatrix}
   \]

2. Скалярное произведение \(\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1\):
   - \(\mathbf{a}_1^T\) — это строка (row vector) размерности \(1 \times 2\).
   - \(\mathbf{a}_1\) — это столбец (column vector) размерности \(2 \times 1\).
   - Умножение строки на столбец дает скаляр (число).

   \[
   \mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \end{pmatrix} = a_{11}^2 + a_{12}^2
   \]

3. Деление матрицы на скаляр:
   - Деление матрицы на скаляр означает, что каждый элемент матрицы делится на этот скаляр.

   \[
   \frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = \frac{1}{a_{11}^2 + a_{12}^2} \begin{pmatrix} a_{11}^2 & a_{11} a_{12} \\ a_{11} a_{12} & a_{12}^2 \end{pmatrix}
   \]

Размерность результата

Результат выражения \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1}\) — это матрица размерности \(2 \times 2\).

Заключение

Таким образом, размерность результата решения уравнения проекции \(\frac{\mathbf{a}_1 \mathbf{a}_1^T}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) в пространстве \(\mathbb{R}^2\) равна \(2 \times 2\). Это матрица, а не скаляр.