Размерность результата решения уравнения проекции [1]

\(\frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\)

Векторы \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{b}\) находятся в пространстве \(\mathbb{R}^2\). Уравнение проекции \(\frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) представляет собой скалярное выражение. Давайте разберемся, что означает это уравнение и какая размерность у результата.

1. Скалярное произведение \(\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}\):
- \(\mathbf{a}_1^T\) — это строка (row vector) размерности \(1 \times 2\).
- \(\mathbf{b}\) — это столбец (column vector) размерности \(2 \times 1\).
- Умножение строки на столбец дает скаляр (число).

\[
\mathbf{a}_1^T \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} = a_{11} b_1 + a_{12} b_2
\]

2. Скалярное произведение \(\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1\):
- \(\mathbf{a}_1^T\) — это строка (row vector) размерности \(1 \times 2\).
- \(\mathbf{a}_1\) — это столбец (column vector) размерности \(2 \times 1\).
- Умножение строки на столбец дает скаляр (число).

\[
\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \end{pmatrix} = a_{11}^2 + a_{12}^2
\]

3. Деление скаляров:
- Деление одного скаляра на другой также дает скаляр.

\[
x = \frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = \frac{a_{11} b_1 + a_{12} b_2}{a_{11}^2 + a_{12}^2}
\]

Размерность результата

Результат \(x\) является скаляром, то есть он имеет размерность 1. Это означает, что \(x\) — это просто число, а не вектор.

Заключение

Таким образом, размерность результата решения уравнения проекции \(\frac{\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}}{\mathbf{a}_1^T \mathbf{a}_1} = x\) в пространстве \(\mathbb{R}^2\) равна 1. Это скалярное значение, а не вектор.

Пояснения к решению

Векторы \(\mathbf{a}_1^T\) и \(\mathbf{a}_1\) связаны, но они имеют разные формы представления и могут использоваться в разных контекстах. Давайте разберемся в их отличиях.

Вектор \(\mathbf{a}_1\)

Вектор \(\mathbf{a}_1\) обычно представляется в виде столбца (column vector) в \(\mathbb{R}^n\):

\[
\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \\ a_{1n} \end{pmatrix}
\]

Это столбец с \(n\) компонентами.

Вектор \(\mathbf{a}_1^T\)

Вектор \(\mathbf{a}_1^T\) представляет собой транспонированный вектор \(\mathbf{a}_1\), то есть он представляется в виде строки (row vector):

\[
\mathbf{a}_1^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{pmatrix}
\]

Это строка с \(n\) компонентами.

Отличия

1. Форма представления:
- \(\mathbf{a}_1\) — это столбец.
- \(\mathbf{a}_1^T\) — это строка.

2. Использование:
- Столбец \(\mathbf{a}_1\): Используется в контекстах, где требуется столбец, например, в умножении матрицы на вектор.
- Строка \(\mathbf{a}_1^T\): Используется в контекстах, где требуется строка, например, в умножении вектора на матрицу.

3. Скалярное произведение:
- Скалярное произведение двух векторов \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{b}\) можно записать как \(\mathbf{a}_1^T \mathbf{b}\) или \(\mathbf{b}^T \mathbf{a}_1\). В первом случае \(\mathbf{a}_1^T\) — это строка, а \(\mathbf{b}\) — столбец, во втором случае \(\mathbf{b}^T\) — это строка, а \(\mathbf{a}_1\) — столбец.

Пример

Рассмотрим вектор \(\mathbf{a}_1\) в \(\mathbb{R}^2\):

\[
\mathbf{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\]

Тогда его транспонированный вектор \(\mathbf{a}_1^T\) будет:

\[
\mathbf{a}_1^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix}
\]

Применение

1. Умножение матрицы на вектор:
- Если \(\mathbf{A}\) — матрица размером \(m \times n\), то \(\mathbf{A} \mathbf{a}_1\) — это произведение матрицы на столбец (результат — столбец).

2. Умножение вектора на матрицу:
- Если \(\mathbf{A}\) — матрица размером \(m \times n\), то \(\mathbf{a}_1^T \mathbf{A}\) — это произведение строки на матрицу (результат — строка).

Заключение

Векторы \(\mathbf{a}_1\) и \(\mathbf{a}_1^T\) связаны транспонированием и имеют разные формы представления (столбец и строка соответственно). Они используются в разных контекстах в зависимости от требований задачи, будь то умножение матрицы на вектор или вектора на матрицу.

Похожее инфо:

Суббота, 26 апреля 2025 . Математика, Прикладная линейная алгебра 43