Построение матрицы для заданных условий
Построение матрицы \( A \) для заданных условий
Условия:
1. Даны три различных вектора: \( (\mathbf{b}_1 ), ( \mathbf{b}_2 ), ( \mathbf{b}_3) \).
2. Системы \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_1 \) и \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_2 \) должны иметь решение.
3. Система \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_3 \) не должна иметь решения.
Решение:
1. Ключевая идея
Для того чтобы система \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \) имела решение, вектор \( \mathbf{b} \) должен принадлежать пространству столбцов матрицы \( A \) (т.е., \( \mathbf{b} \in \text{Col}(A) \)).
Если \( \mathbf{b} \notin \text{Col}(A) \), система не имеет решения.
2. Алгоритм построения \( A \)
1. Выберем \( \mathbf{b}_1 \) и \( \mathbf{b}_2 \) как столбцы матрицы \( A \):
* Это гарантирует, что \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_1 \) и \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_2 \) имеют решения (например, \( \mathbf{x} = (1, 0)\top \) и \(\mathbf{x} = (0, 1)\top \) соответственно).
* Пусть \( A = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 \end{bmatrix} \).
2. Убедимся, что \( \mathbf{b}_3 \notin \text{Col}(A) \):
* Если \( \mathbf{b}_3 \) не является линейной комбинацией \( \mathbf{b}_1 \) и \( \mathbf{b}_2 \), то \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_3 \) не имеет решения.
* Для этого векторы \( \mathbf{b}_1 \), \( \mathbf{b}_2 \), \( \mathbf{b}_3 \) должны быть линейно независимыми.
Пример
Пусть даны векторы (для наглядности возьмём конкретные числа):
\[
\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}.
\]
* Шаг 1: Составим матрицу \( A \) из \( \mathbf{b}_1 \) и \( \mathbf{b}_2 \):
\[
A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}.
\]
* Шаг 2: Проверим \( \mathbf{b}_3 \):
* \( \mathbf{b}_3 = \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 \), значит, \( \mathbf{b}_3 \in \text{Col}(A) \). Не подходит (условие нарушено).
Исправленный пример:
Выберем \( \mathbf{b}_3 \), который не является линейной комбинацией \( \mathbf{b}_1 \) и \( \mathbf{b}_2 \). Например:
\[
\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix} \quad \text{(добавили третью компоненту)}.
\]
* Шаг 1: Расширим \( A \) до размера \( 3 \times 2 \):
\[
A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.
\]
* Шаг 2: Проверим \( \mathbf{b}_3 \):
* Система \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_3 \) имеет вид:
\[
\begin{cases}
x_1 = 1, \\
x_2 = 1, \\
0 = 0.
\end{cases}
\]
* Решение \( \mathbf{x} = (1, 1)^\top \) существует. Опять не подходит.
Финальный пример:
Выберем \( \mathbf{b}_3 \), который не лежит в \( \text{Col}(A) \). Например:
\[
\mathbf{b}_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}, \quad \mathbf{b}_3 = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.
\]
* Шаг 1: Матрица \( A \) (размер \( 3 \times 2 \)):
\[
A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.
\]
* Шаг 2: Проверим \( \mathbf{b}_3 \):
* Система \( A\mathbf{x} = \mathbf{b}_3 \):
\[
\begin{cases}
x_1 = 0, \\
x_2 = 0, \\
0 = 1 \quad \text{(неверно)}.
\end{cases}
\]
* Решения нет, как и требуется.
3. Общий случай
Для любых трёх векторов \( \mathbf{b}_1 \), \( \mathbf{b}_2 \), \( \mathbf{b}_3 \):
1. Постройте матрицу \( A \), чьи столбцы — это \( \mathbf{b}_1 \) и \( \mathbf{b}_2 \).
2. Убедитесь, что \( \mathbf{b}_3 \) не является их линейной комбинацией (например, добавив компоненту, которая не может быть получена из \( A \)).
Итог:
Матрица \( A = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 \end{bmatrix} \) (при условии, что \( \mathbf{b}_3 \) не выражается через \( \mathbf{b}_1 \) и \( \mathbf{b}_2 \)) удовлетворяет всем требованиям.