Собственное значение (eigenvalue) матрицы

Собственное значение (eigenvalue) матрицы — это скалярное значение, связанное с линейным преобразованием, которое описывается матрицей.  Оно характеризует, насколько растягивается или сжимается собственный вектор (eigenvector) при применении этого преобразования. 

Более формально:

Определение:

Для квадратной матрицы A размера n x n, ненулевой вектор v называется собственным вектором матрицы A, если при умножении A на \(v\) получается вектор, пропорциональный \(v\).  То есть:

\(A v = λ v\)

где:

• \(A\) — квадратная матрица.
• \(v\) — собственный вектор матрицы A (ненулевой вектор).
• \(λ\) (лямбда) — собственное значение, соответствующее собственному вектору \(v\) .

Простыми словами:

Представьте, что матрица A представляет собой линейное преобразование пространства. Собственный вектор \(v\)  — это такой вектор, который при применении преобразования A не меняет своего направления (или меняет его на противоположное), а только масштабируется (растягивается или сжимается).  Собственное значение λ — это коэффициент, на который масштабируется этот вектор.

Как найти собственные значения:

1.  Составить характеристическое уравнение:

    Из уравнения \(A v = λ v\) вычтем λ v из обеих частей:

    \(A v - λ v = 0\)

    Вынесем \(v\) за скобки:

   \( (A - λ I) v = 0\)

    где I — единичная матрица того же размера, что и A.

    Для того чтобы существовало ненулевое решение для \(v\) , необходимо, чтобы определитель матрицы (A - λ I) был равен нулю:

    \(det(A - λ I) = 0\)

    Это уравнение называется характеристическим уравнением матрицы A.

2.  Решить характеристическое уравнение:

    Решение характеристического уравнения даст собственные значения λ.  Характеристическое уравнение является полиномиальным уравнением относительно λ.  Для матрицы размера n x n оно будет иметь степень n, и, следовательно, будет иметь n корней (с учетом кратности).  Эти корни и есть собственные значения матрицы A.

Пример (матрица 2x2):

Пусть \(A = [[2, 1], [1, 2]]\).

1.  Составим характеристическое уравнение:

\(A - λ I = [[2-λ, 1], [1, 2-λ]]\)

\(det(A - λ I) = (2-λ)(2-λ) - 11 = λ^2 - 4λ + 3 = 0\)

2.  Решим характеристическое уравнение:

\(λ^2 - 4λ + 3 = (λ - 1)(λ - 3) = 0\)

    Корни уравнения:

\(λ1 = 1\), \(λ2 = 3\).

    Таким образом, собственные значения матрицы A равны 1 и 3.

Значение собственных значений:

• Стабильность системы: В задачах устойчивости линейных систем, собственные значения матрицы системы определяют, будет ли система устойчивой (вернется ли она в состояние равновесия после небольшого возмущения). Если все собственные значения имеют отрицательную вещественную часть, система устойчива.
• Анализ главных компонент (PCA): В PCA собственные значения ковариационной матрицы данных указывают на дисперсию данных вдоль соответствующих собственных векторов (главных компонент).
• Моды колебаний: В механике, собственные значения матрицы жесткости конструкции связаны с частотами собственных колебаний.
• Матричные преобразования: Собственные значения и собственные векторы помогают понять геометрический смысл линейного преобразования, заданного матрицей.

В заключение:

Собственные значения — это фундаментальные характеристики матриц, которые отражают их поведение при линейных преобразованиях и имеют широкое применение в различных областях математики, физики, инженерии и анализе данных.  Они указывают на масштабирование собственных векторов при применении линейного преобразования, представленного матрицей.