61. Законы Ньютона, импульс, количество движения #

Задача. Дрон 2,5 кг ускоряется вверх \(\text{с} a_{z} = 9{,}81\ \text{м/с}^{2} (1 g) \). Найти требуемую подъёмную силу и перегрузку. Если запас тяги моторов — 2× hover — укладывается ли манёвр?

Заданные параметры:

Искомые параметры: подъёмная сила L (Н); перегрузка n (g); укладывается ли в запас.

Решение.

1. L = m(g + a_z) = 2,5·(9,81+9,81) = 2,5·19,62 = 49,1 Н.
2. n = L/P = 49,1/24,5 = 2.
3. Запас 2× hover — ровно впритык \((L_{max} = 2\cdot P = 49\ \text{Н} \approx 49{,}1\ \text{Н}) \).

Вывод. Манёвр \(\text{с} a_{z} = g_{требует} \) 2× hover тяги — типовой «максимальный» манёвр; для 3 g (аэробатика) нужен запас 3× (статья 35, подбор моторов).

Задача. Дрон 2,5 кг падает \(\text{с} v = 5\ \text{м/с} \) и останавливается за \(\Delta t = 0{,}05\ \text{с} \) (жёсткая посадка). Найти среднюю силу удара. Если амортизатор растягивает торможение до 0,25 с — какая сила?

Заданные параметры:

Искомые параметры: средняя сила удара F_ср (Н) для обоих случаев.

Решение.

1. Δp = m·v = 2,5·5 = 12,5 кг·м/с.
2. Жёстко: \(F_{ср} = \Delta \frac{p}{\Delta} t = \frac{12{,}5}{0{,}05} = 250\ \text{Н} \) (≈ 10,2 g — 250/24,5).
3. С амортизатором: \(F_{ср} = \frac{12{,}5}{0{,}25} = 50\ \text{Н} (\approx 2{,}0 g) \).

Вывод. Увеличение времени торможения в 5 раз → сила в 5 раз меньше — амортизация (ход стоек, мягкое покрытие) — основной способ снизить перегрузку при падении.

Задача. Дрон 2,5 кг сбрасывается \(\text{с} v = 30\ \text{м/с} \); парашют останавливает его до 6,4 м/с (статья 56, задача 4) за \(\Delta t = 1\ \text{с} \). Найти среднюю силу на стропы. Сравнить с весом.

Заданные параметры:

Искомые параметры: средняя сила на стропы F_строп (Н); перегрузка (g).

Решение.

1. Δv = 30 − 6,4 = 23,6 м/с.
2. Δp = m·Δv = 2,5·23,6 = 59 кг·м/с; тормозящая сила \(F_{торм} = \Delta \frac{p}{\Delta} t = \frac{59}{1} = 59\ \text{Н} \).
3. Стропы несут и вес, и торможение: \(F_{строп} = P + F_{торм} = 24{,}5 + 59 = 83{,}5\ \text{Н} \) (≈ 3,4 g — 83,5/24,5).

Вывод. Раскрытие парашюта с 30 м/с — 3–4 g на стропы/раму (зависит от времени раскрытия: чем быстрее, тем выше); крепление парашюта рассчитывают на 3–5 g.

Задача. BLDC-мотор (момент инерции вала \(J = 2\cdot 10^{-4}\ \text{кг·м}^{2} \)) вращается \(\omega = 800\ \text{рад/с} \) (статья 60). При «торможении током» (контра-ЭДС) момент торможения \(M = 0{,}2\ \text{Н·м} \). Найти время остановки и среднее угловое ускорение.

Заданные параметры:

Искомые параметры: время остановки Δt (с); среднее угловое ускорение ε (рад/с²).

Решение.

1. Угловой импульс: \(L = J\cdot \omega = 2\cdot 10^{-4} \cdot 800 = 0{,}16\ \text{кг·м}^{2} \text{/с} \).
2. M·Δt = ΔL → \(\Delta t = \frac{L}{M} = \frac{0{,}16}{0{,}2} = 0{,}8\ \text{с} \).
3. ε = Δω/Δt = 800/0,8 = 1000 рад/с².

Вывод. Торможение током — быстрый способ остановить винт (за 0,8 с с 800 рад/с); энергия кинетического вращения \((0{,}5\cdot J\cdot \omega^{2} = 64\ \text{Дж}) \) переходит в электричество (рекуперация) и нагрев ESC.

Задача. Дрон 2,5 кг летит горизонтально со скоростью 10 м/с и сталкивается с препятствием, останавливаясь за \(\Delta t = 0{,}1\ \text{с} \). Найти среднюю силу удара и ускорение. Сопоставить с весом.

Заданные параметры:

Искомые параметры: средняя сила удара F_ср (Н); ускорение a (м/с²); сопоставление с весом.

Решение.

1. Δp = m·v = 2,5·10 = 25 кг·м/с.
2. F_ср = 25/0,1 = 250 Н (≈ 10,2 g).
3. a = F/m = 250/2,5 = 100 м/с² (≈ 10 g).

Вывод. Столкновение 10 м/с с остановкой 0,1 с — 10 g — разрушительное для рамы/электроники; «мягкое» торможение (аэродинамическое, \(\Delta t = 1\ \text{с} \)) — 25 Н (1 g) — уже рабочий режим; отсюда значение планирования безопасных остановок (снижение, аэродинамическое торможение, а не «стена»).