62. Вращение тела: момент инерции, момент импульса винта #

Задача. Винт 10" \((R = 0{,}127\ \text{м}) \), масса 0,05 кг (масса на краях). Найти момент инерции (приближение «обод»). Во сколько раз J вырастет, если винт тяжелее (0,1 кг) того же диаметра?

Заданные параметры:

Искомые параметры: момент инерции J (кг·м²); отношение J при удвоении массы.

Решение.

1. J = m·R² = 0,05·0,127² = 0,05·0,0161 = 8,06·10⁻⁴ кг·м².
2. При \(m = 0{,}1\ \text{кг} \): \(J = 1{,}61\cdot 10^{-3}\ \text{кг·м}^{2} \) — в 2 раза больше (J ∝ m).

Вывод. J винта линейна по массе; «тяжёлый» винт (больше лопасть) — больше инерция и энергия вращения.

Задача. Винт \(J = 8\cdot 10^{-4}\ \text{кг·м}^{2} \) разгоняется моментом \(M = 0{,}12\ \text{Н·м} \) (статья 57, задача 4). Найти угловое ускорение и время разгона до \(800\ \text{рад/с} (\approx 7600\ \text{об/мин}) \).

Заданные параметры:

Искомые параметры: угловое ускорение ε (рад/с²); время разгона t (с).

Решение.

1. ε = M/J = 0,12/(8·10⁻⁴) = 150 рад/с².
2. t = ω/ε = 800/150 = 5,3 с.

Вывод. Разгон винта — 5 с (при постоянном моменте; в реальности аэродинамическое сопротивление растёт с ω — разгон «насыщается»); энергия разгона — \(0{,}5\cdot J\cdot \omega^{2} = 256\ \text{Дж} \) (часть — в воздух, часть — в кинетическую).

Задача. Винт \(J = 2\cdot 10^{-4}\ \text{кг·м}^{2} \) на 800 рад/с (статья 61). Найти кинетическую энергию вращения. При «торможении током» за 0,8 с — средняя мощность торможения?

Заданные параметры:

Искомые параметры: кинетическая энергия E (Дж); средняя мощность торможения P_ср (Вт).

Решение.

1. E = 0,5·J·ω² = 0,5·2·10⁻⁴·800² = 0,5·2·10⁻⁴·640000 = 64 Дж.
2. P_ср = E/Δt = 64/0,8 = 80 Вт.

Вывод. Энергия вращения — 64 Дж (≈ 15 мг по TNT-эквиваленту); при торможении за 0,8 с — 80 Вт в ESC (нагрев) или в батарею (рекуперация).

Задача. Оценка J_рыскания (вокруг вертикали) квадрокоптера: 4 мотора+винта (\(m = 0{,}15\ \text{кг} \) каждый) на концах рук (\(R_{руки} = 0{,}2\ \text{м} \) от центра), аккумулятор \((m = 0{,}8\ \text{кг}) \) у центра \((r = 0{,}05\ \text{м}) \). Найти J_рамы (руки пренебречь).

Заданные параметры:

Искомые параметры: момент инерции рамы J_рамы (кг·м²).

Решение.

1. J_моторов = 4·(m·R_руки²) = 4·(0,15·0,2²) = 4·(0,15·0,04) = 4·0,006 = 0,024 кг·м².
2. J_акб = 0,8·0,05² = 0,8·0,0025 = 0,002 кг·м².
3. J_рамы = 0,024 + 0,002 = 0,026 кг·м².

Вывод. J_рамы определяет инерцию рыскания: при моменте 0,12 Н·м — \(\varepsilon = \frac{M}{J} = \frac{0{,}12}{0{,}026} = 4{,}6\ \text{рад/с}^{2} (\approx 265\ \text{°/с}^{2}) \) — рама рыскает быстро; увеличение массы моторов/винтов (тяжёлые края) — J выше — рыскание медленнее («стабильнее»).

Задача. Дрон \(J_{рыскания} = 0{,}026\ \text{кг·м}^{2} \). При форсаже CCW-пара винтов на 10 % быстрее разгоняется, чем CW-пара (асимметрия отклика моторов). Изменение момента импульса каждого мотора \(\Delta L = 0{,}16\ \text{кг·м}^{2} \text{/с} \) (статья 61, задача 4), время разгона 0,8 с. Найти среднее угловое ускорение рамы по рысканию.

Заданные параметры:

Искомые параметры: среднее угловое ускорение рамы ε (рад/с²).

Решение.

1. ΔL_CCW = 2·0,16 = 0,32 кг·м²/с; \(\Delta L_{CW} = 2\cdot 0{,}16\cdot 0{,}9 = 0{,}288\ \text{кг·м}^{2} \text{/с} \).
2. Суммарный \(\Delta L_{винтов} = 0{,}32 - 0{,}288 = 0{,}032\ \text{кг·м}^{2} \text{/с} \) (по знаку CCW).
3. Реактивный момент на раму: \(M_{ср} = \Delta \frac{L}{\Delta} t = \frac{0{,}032}{0{,}8} = 0{,}04\ \text{Н·м} \) (противо-часовой — в сторону, противоположную CCW-паре).
4. ε_рамы = M/J = 0,04/0,026 = 1,5 рад/с² (≈ 88°/с²).

Вывод. Даже 10-процентная асимметрия разгона пар — ненулевой рыск-момент; прошивка выравнивает отклик моторов (идентичные ESC/прошивки) и компенсирует остаток дифференциалом тяги (статья 57).