Перейти к содержимому

30. Виражи, спираль, петля: перегрузки в манёврах … ↩

mod. Понедельник, 21 сентября 2026 19:28 . См. 88

Манёвр — это полёт с ускорением, а ускорение — это перегрузка. Показываем, как считать перегрузку, радиус и угловую скорость виража, почему в крутом вираже растут и скорость срыва, и расход мощности, и что происходит с мультиротором в «петле» и «спирали».

Содержание

1. Цели статьи

  • Считать перегрузку n, радиус R и угловую скорость виража по крену φ и скорости V.
  • Понимать, почему в крутом вираже растёт скорость срыва (stall, рисунок — Wikipedia) / Сваливание и расход мощности.
  • Оценивать перегрузки в спиральном пикировании и в петле — включая мультироторный БПЛА (беспилотный летательный аппарат).
  • Знать, какие манёвры реально доступны малым аппаратам и что их ограничивает.
Что особенно важно запомнить:
  1. Перегрузка в вираже — не «усиление центробежной силы», а то, во сколько раз крыло (или винт) держит больше веса: \(n = \frac{Y}{W} \). Крен 45° — 1,41 g, 60° — 2 g; всё остальное — скорости, мощности, нагрузки — следует из n (задачи 1, 5).
  2. В вираже скорость срыва растёт как √n: у аппарата с \(V_{ср} = 11{,}55\ \text{м/с} \) в крене 60° она уже 16,3 м/с, поэтому «крутой вираж на низкой скорости» — стандартный вход в сваливание (задача 2, статья 31).
  3. Вираж 45° стоит +19 % мощности (задача 3), а «чистая» петля — 6 g в нижней точке и 31,3 м/с на входе: за пределами малых мультироторов (задача 4).
↑ К оглавлению

2. Величины и единицы измерения (глоссарий)

Все величины, встречающиеся в статье и задачах, — в одной таблице. Безразмерные величины (коэффициенты, перегрузка) единиц не имеют, для них в колонке «Единица» — прочерк или условное «g».

СимволВеличинаЕдиницаТипичное значение в задачах
φкренградусы (°)30–70
nперегрузка — во сколько раз крыло держит больше весаg (безразмерное)1,15–6
Vскорость полётам/с15–31,3
Rрадиус виражам8,4–39,7
ωугловая скорость поворотарад/с (°/с)0,654 (37,5)
gускорение свободного падениям/с²9,80665
Wсила тяжести (вес)Н4,9
Yподъёмная силаНn·W
Vсрскорость срывам/с11,55
Cyкоэффициент подъёма (безразмерное)—0,2965–0,419
Cxкоэффициент сопротивления (безразмерное)—0,02466–0,0293
Kфактор индуктивного сопротивления (безразмерное)—0,053
Cx0сопротивление при нулевой подъёмной силе (безразмерное)—0,02
qдинамическое давлениеПа137,8
Sплощадь крылам²0,12
PмощностьВт6,11–7,26
↑ К оглавлению

3. Наклонный вираж: формулы

Аппарат кренится на угол φ и несётся по дуге. Подъёмная сила Y стоит «на вес и на кривизну»: вертикальная составляющая держит вес, горизонтальная — это центробежная сила, гнущая траекторию. Из двух уравнений (\(Y\cdot \cos \varphi = W \) и \(Y\cdot \sin \varphi = \frac{mV^{2}}{R} \)) — три рабочих формулы перегрузки (рисунок — Wikipedia):

\[ n = \frac{1}{\cos\varphi} \qquad R = \frac{V^2}{g\sqrt{n^2-1}} = \frac{V^2}{g\,\tan\varphi} \qquad \omega = \frac{g\tan\varphi}{V} \]

где n — перегрузка, R — радиус, ω — угловая скорость поворота, \(g = 9{,}80665\ \text{м/с}^{2} \). Заметьте: при том же крене радиус зависит от скорости как V² — удвоить скорость — значит увеличить радиус виража в четыре раза.

Крен φПерегрузка nРадиус при V = 15 м/сКомментарий
30°1,15≈ 39,7 мтиповой «рабочий» вираж
45°1,41≈ 22,9 мманёвр с заметным ростом расхода мощности
60°2,0≈ 13,2 мграница возможностей малых аппаратов
70°2,92≈ 8,4 мтолько лёгкие аппараты с запасом конструкции

Проверка по 45°: \(\cos 45\,° = 0{,}707 \), \(n = \frac{1}{0{,}707} = 1{,}41 \); \(R = \frac{15^{2}}{9{,}80665\cdot \tan 45\,°} = \frac{225}{9{,}80665} \approx 22{,}9\ \text{м} \). Угловая скорость \(\omega = g\cdot \tan \varphi/V = \frac{9{,}80665}{15} = 0{,}654\ \text{рад/с} \approx 37{,}5\ \text{°/с} \) — полный круг за 9,6 с.

↑ К оглавлению

4. Что происходит с аппаратом в перегрузке

Скорость срыва растёт как √n

Крылу приходится создавать подъёмную силу n·W, а значит, рабочий коэффициент подъёма тоже n раз больше. При той же площади S и том же Cy max минимальная скорость, при которой крыло «держит», вырастает:

\[ V_{ср}(n) = V_{ср}(1)\,\sqrt{n} \]

Аппарат с \(V_{ср} = 11{,}55\ \text{м/с} \) в горизонтальном полёте (статья 29) в вираже 60° срывается уже на \(11{,}55\cdot √2 \approx 16{,}3\ \text{м/с} \). Это главная «ловушка» манёвра: вы ускорялись и набирали крен, а запас скорости до срыва уменьшается (статья 31 — срыв и безопасность).

Мощность

Подъёмная сила n раз больше — индуктивное сопротивление (статья 22) растёт как n² (\(C_{x инд} = K\cdot C_{y}^{2} \), а Cy ∝ n). Сила тяги, а значит и мощность, идут вверх. Порядок эффекта — 15–25 % мощности уже при 45° (задача 3 ниже).

Конструкция

Рама, узлы крепления моторов и крыла видят нагрузку n·W: при 2 g каждая из них держит вдвое больший вес. Карбоновая рама (CFRP — композит с карбоновым волокном) на 2–3 g держится с запасом; пластиковая (PLA — полилактид) — на пределе уже при манёвренной перегрузке 2,5–3 g. Перед агрессивными манёврами смотрите на материал рамы и точки крепления — они, а не винт, разрушаются первыми.

Мультиротор в крутом вираже: винты уравновешивают вес аппарата вектором тяги, и при крене горизонтальная составляющая тяги гнёт траекторию. Формально те же формулы, но у мультиротора n ограничен не крылом, а тем, что при крене суммарная тяга должна вырасти в \(n = 1/\cos \varphi_{раз} \): при 45° это в 1,41 раза больше тяги висения, и запас тяги N−1 (статья 26) быстро тает.
↑ К оглавлению

5. Спираль

Спиральное пикирование (spiral dive, рисунок — Wikipedia) — вираж с набором скорости и потерей высоты. Опасность в том, что скорость нарастает незаметно: на каждом витке центробежная сила растёт как V², и перегрузка при выходе из спирали (рывок штурвала) может в несколько раз превысить расчётную. Классическая схема: \(n_{выхода} \approx n_{виража}\cdot (V_{выхода}/V_{входа})^{2} \) при том же радиусе — скорость удвоилась, перегрузка — в 4 раза.

Для мультиротора «спираль» — штатный режим: схождение с высоты по витку при крене 30–45°. Перегрузки там близки к n виража (1,15–1,4), скорость ограничена не срывом, а боковым сопротивлением и запасом тяги на удержание крена. Это стандартный способ спуститься за 10–30 секунд без резкого снижения.

↑ К оглавлению

6. Петля

Вертикальная петля — манёвр акробатики (рисунок — Wikipedia) / Аэробатика: в нижней точке перегрузка максимальна (крыло держит вес плюс центробежную), в верхней — минимальна. Если скорость в нижней точке Vвх, радиус R, то по закону сохранения энергии (потеря высоты 2R переходит в скорость) и из уравнений движения:

\[ V_{верх}^2 = V_{вх}^2 - 4gR, \qquad n_{низ} = 1 + \frac{V_{вх}^2}{gR}, \qquad n_{верх} = \frac{V_{вх}^2}{gR} - 5 \]

Для крылового аппарата верхняя точка «прошла» при nверх от 0 до +1 (при \(n_{верх} = 0 \) аппарат на вершине висит в свободном падении). Для мультиротора схема другая: винты всегда тянут «на себя» в системе координат аппарата, и в верхней точке (аппарат перевёрнут) тяга направлена в сторону центра петли — она добавляется к весу. Минимальная верхняя точка: тяга стремится к нулю, аппарат в свободном падении, \(n_{верх} = 0 \), и

\[ V_{верх,min} = \sqrt{gR} \]

Энергетический баланс даёт нижнюю точку: \(V_{вх}^{2} = V_{верх}^{2} + 4gR = 5gR \):

\[ V_{вх} = \sqrt{5gR}, \qquad n_{низ} = 1 + \frac{V_{вх}^2}{gR} = 6 \]

Итог: минимальная «чистая» петля мультиротора — это 6 g в нижней точке. Реальные малые мультироторы петлю не делают (6 g — за пределами большинства рам и моторов), выполняют её «поленистую» (с паузой и разгоном тягой на вершине) или ограничиваются полукругом (180°).

↑ К оглавлению

7. Ограничения: перегрузка и мощность

ОграничениеТипичный предел (малые БПЛА)Что «ломается» / что теряется первым
Конструкция (CFRP рама)3–6 g манёврузлы крепления моторов, крыла
Конструкция (PLA/GFRP — полилактид/стеклопластик)2–3 g манёврпластиковая рама, крепёж
Запас тяги (мультиротор)n до 1,4–2 при крене 45–60°запас тяги N−1 (статья 26) падает
Мощность (крыло)+15–25 % на вираже 45°батарея садится быстрее, RTH под вопросом
Скорость срываVср(n) = Vср·√nзапас скорости до срыва (статья 31)

Правило миссии: манёвр считается доступным, если при его перегрузке (а) запас конструкции не меньше 1,5–2, (б) запас тяги не меньше 1,2, (в) скорость не ниже 1,1–1,2·Vср(n), (г) до RTH (возврат на базу, return to home) остаётся батарея не менее 25 %.

↑ К оглавлению

8. Практика: типовые задачи (с решениями)

Задача 1. Вираж 45°

Задача. Крыловой БПЛА летит \(V = 15\ \text{м/с} \) и набирает крен 45°. Найти перегрузку, радиус и угловую скорость виража.

Заданные параметры:

Скорость V15 м/с
Крен φ45°
g9,80665 м/с²

Искомые параметры: n (g), R (м), ω (рад/с, °/с).

Решение.

  1. Перегрузка: \(n = 1/\cos 45° = 1/0{,}707 = 1{,}41\ \text{g} \).
  2. Радиус: \(R = V^2/(g\tan\varphi) = 225/(9{,}80665 \cdot 1) \approx 22{,}9\ \text{м} \).
  3. Угловая скорость: \(\omega = g\tan\varphi/V = 9{,}80665/15 = 0{,}654\ \text{рад/с} \approx 37{,}5°/\text{с} \) (полный круг \(\frac{360}{37{,}5} \approx 9{,}6\ \text{с} \)).
Ответ: \(n \approx 1{,}41 g \), \(R \approx 22{,}9\ \text{м} \), \(\omega \approx 37{,}5\ \text{°/с} \) (виток за 9,6 с). Вывод: крен 45° — уже заметная перегрузка и сокращение радиуса в 1,41 раза: манёвры планируются с учётом запасов (раздел 6 — ограничения).

Задача 2. Срыв в крутом вираже

Задача. Аппарат с Vср(1) = 11,55 м/с (статья 29, задача 1). Найти скорость срыва в вираже 60° и ответить: при \(V = 14\ \text{м/с} \) в крене 60° аппарат срывается или нет.

Заданные параметры:

Vср в горизонтальном полёте11,55 м/с
Крен φ60°
Фактическая скорость V14 м/с

Искомые параметры: Vср(n) (м/с), режим полёта при 14 м/с.

Решение.

  1. Перегрузка: \(n(60°) = 1/\cos 60° = 2{,}0 \).
  2. Скорость срыва в вираже: \(V_{ср}(2) = 11{,}55 \cdot \sqrt{2} \approx 16{,}3\ \text{м/с} \).
  3. Сравнение: 14 м/с ниже 16,3 м/с — запас до срыва отрицательный, крыло в срыве.
Ответ: \(V_{ср}(60\,°) \approx 16{,}3\ \text{м/с} \); при 14 м/с в крене 60° — срыв. Вывод: «крутой вираж на низкой скорости» — стандартный вход в сваливание (статья 31): запас скорости до срыва в вираже в √n раз меньше.

Задача 3. Мощность в вираже

Задача. Опорный крыловой БПЛА (статья 28): \(m = 0{,}5\ \text{кг} \), \(S = 0{,}12\ \text{м}^{2} \), \(C_{x0} = 0{,}02 \), \(K = 0{,}053 \), \(V = 15\ \text{м/с} \). Сравнить мощность в горизонтальном полёте и в вираже 45°.

Заданные параметры:

Масса m0,5 кг
Площадь S0,12 м²
Cx0, K0,02; 0,053 (безразмерные)
Скорость V15 м/с
Крен в вираже φ45°

Искомые параметры: P (Вт) в горизонтальном полёте и в вираже; прирост в процентах.

Решение.

  1. Горизонтальный полёт: \(C_y = 2W/(\rho V^2 S) = 9{,}80665/(1{,}225 \cdot 225 \cdot 0{,}12) = 0{,}2965 \); \(C_x = 0{,}02 + 0{,}053 \cdot 0{,}2965^2 = 0{,}02466 \); \(X = qSC_x = 137{,}8 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}02466 = 0{,}407\ \text{Н} \); \(P = XV = 6{,}11\ \text{Вт} \).
  2. Вираж \(45\,° (n = 1{,}41) \): \(C_y = 0{,}2965 \cdot 1{,}41 = 0{,}419 \); \(C_x = 0{,}02 + 0{,}053 \cdot 0{,}419^2 = 0{,}0293 \); \(X = 137{,}8 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}0293 = 0{,}484\ \text{Н} \); \(P = 0{,}484 \cdot 15 = 7{,}26\ \text{Вт} \).
  3. Прирост: \((7{,}26 - 6{,}11)/6{,}11 \approx 19\ \% \).
Ответ: 6,11 Вт → 7,26 Вт, прирост +19 % за один вираж 45°. Вывод: если миссия — круги над целью, батарея садится на ~20 % быстрее, чем «прямо и ровно»: манёвренная часть миссии оценивается отдельно.

Задача 4. Петля мультиротора

Задача. Мультиротор пытается «чистую» петлю радиуса \(R = 20\ \text{м} \) (минимальная верхняя точка, \(n_{верх} = 0 \)). Найти скорости в верхней и нижней точках и перегрузку внизу.

Заданные параметры:

Радиус петли R20 м
Перегрузка в верхней точке nверх0 (безразмерное)
g9,80665 м/с²

Искомые параметры: Vверх, Vвх (м/с), nниз (g).

Решение.

  1. Минимальная скорость в верхней точке (тяга устремляется к нулю, аппарат в свободном падении): \(V_{верх} = \sqrt{gR} = \sqrt{9{,}80665 \cdot 20} = \sqrt{196{,}1} = 14{,}0\ \text{м/с} \).
  2. По энергетическому балансу (потеря высоты 2R): \(V_{вх}^2 = V_{верх}^2 + 4gR = 5gR \Rightarrow V_{вх} = \sqrt{980{,}7} = 31{,}3\ \text{м/с} \).
  3. Перегрузка в нижней точке: \(n_{низ} = 1 + V_{вх}^2/(gR) = 1 + 5 = 6\ \text{g} \).
  4. Для справки: 31,3 м/с — это 113 км/ч на входе, что выше паспортных скоростей большинства малых мультироторов.
Ответ: Vверх = 14,0 м/с, \(V_{вх} = 31{,}3\ \text{м/с} \), \(n_{низ} = 6 g \). Вывод: «чистая» петля мультиротору недоступна ни по скорости, ни по конструкции (6 g — за пределами большинства рам и моторов): выполняют «поленистую» петлю или полукруг.

Задача 5. Вираж 60°

Задача. Аппарат летит \(V = 20\ \text{м/с} \) с креном 60°. Найти перегрузку, радиус и угловую скорость.

Заданные параметры:

Скорость V20 м/с
Крен φ60°
g9,80665 м/с²

Искомые параметры: n (g), R (м), ω (рад/с, °/с).

Решение.

  1. Перегрузка: \(n = 1/\cos 60° = 2{,}0\ \text{g} \).
  2. Радиус: \(R = V^2/(g\tan\varphi) = 400/(9{,}80665 \cdot 1{,}732) = 400/16{,}99 \approx 23{,}5\ \text{м} \).
  3. Угловая скорость: \(\omega = g\tan\varphi/V = 9{,}80665 \cdot 1{,}732/20 = 0{,}849\ \text{рад/с} \approx 48{,}7°/\text{с} \) (полный круг за 7,4 с).
Ответ: n = 2 g, \(R \approx 23{,}5\ \text{м} \), \(\omega \approx 48{,}7\ \text{°/с} \). Вывод: при \(V = 20\ \text{м/с} \) радиус 60°-виража (23,5 м) почти совпал с радиусом 45°-виража при 15 м/с (22,9 м) — скорость и крен в формуле радиуса «меняются местами»: крутить можно и быстрее, и острее.
↑ К оглавлению

9. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓НавыкПроверка
n = 1/cos φсчитаю перегрузку по крену за секунду
Радиус/ωсчитаю R = V²/(g·tan φ) и ω = g·tan φ/V
Vср(n)знаю, что срыв в вираже наступает раньше
Мощностьоцениваю прирост +15–25 % на вираже 45°
Спиральпонимаю, как в спирали незаметно нарастает скорость
Петля мультироторасчитаю Vвх = √(5gR) и nниз = 6
Ограниченияпроверяю 4 критерия доступности манёвра
↑ К оглавлению

10. Источники

  1. Wikipedia, «Load factor (aeronautics)» — определение \(n = \frac{Y}{W} \), связь с креном виража (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Load_factor_(aeronautics)
  2. Wikipedia, «Spiral dive» — спиральное пикирование, набор скорости (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Spiral_dive Aircraft_dynamic_modes
  3. Wikipedia, «Aerobatics» — петля и вертикальные манёвры (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Aerobatics / ru.wikipedia.org/wiki/Аэробатика (Аэробатика)
  4. Wikipedia, «Stall (flight)» — срыв, зависимость Vср от нагрузки (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Stall_(flight) / ru.wikipedia.org/wiki/Сваливание (Сваливание) Stall_(fluid_dynamics) / Сваливание / ru.wikipedia.org/wiki/Сваливание (Сваливание)
  5. Статьи цикла 22, 26, 28, 29 (сопротивление, тяга, мощности, скорости) — база формул.

Опорные аппараты — продолжение статей 28; численные примеры рассчитаны автором (\(g = 9{,}80665\ \text{м/с}^{2} \), \(\rho = 1{,}225\ \text{кг/м}^{3} \)). Проверено: 03.09.2026.

↑ К оглавлению
  • мод. : Понедельник, 21 сентября 2026