Перейти к содержимому
1

56. Силы, равновесие, треугольник сил #

Сила — вектор, измеряется в ньютонах; система сил равновесна, когда их сумма равна нулю. Три силы в равновесии образуют замкнутый треугольник сил. Разбираем векторные операции над силами, условия равновесия, базовые силы на БПЛА (беспилотном летательном аппарате) и методику расчёта на примере удержания, спуска на парашюте и посадки.

Содержание

1. Цели статьи

  • Работать с силами как с векторами: складывать, разлагать, вычислять равнодействующую.
  • Формулировать условия равновесия \((\Sigma F = 0) \) и строить уравнения статики для точки и простого стержня.
  • Применять треугольник сил к задачам с тремя силами (оттяжки, парашют, трос).
  • Рассчитывать базовые нагрузки БПЛА: вес, нормальную реакцию при взлёте/посадке, натяжение троса/парашютного стропа.
↑ К оглавлению

2. Глоссарий величин

Все величины, используемые в статье, с единицами измерения (СИ):

ВеличинаОбозначениеЕдиницаЧто это
СилаFН (ньютон)Вектор; 1 Н даёт телу 1 кг ускорение 1 м/с²; |F| = √(Fx²+Fy²+Fz²)
Массаmкг (килограмм)Типовой дрон 2,5 кг
Ускорение свободного паденияgм/с² (метр/с²)9,81 м/с²
ВесPН, кгсP = m·g; 2,5 кг → 24,5 Н (≈ 2,5 кгс); 1 кгс = 9,81 Н
Подъёмная сила винтовLН (ньютон)L = m·g (hover); 2–4·m·g (форсаж/манёвр): 24,5; 49–98 Н
Нормальная реакция опорыNН (ньютон)N = P − L; 24,5 Н (на земле), 0 Н (hover)
Натяжение троса/стропаTН (ньютон)T = P/(2·cos(α/2)); парашют 12–25 Н, оттяжка 20–100 Н
Угол между оттяжкамиα° (градус)60–120°; при 120° каждый трос несёт весь вес
Плотность воздухаρкг/м³ (килограмм/м³)1,2 кг/м³ (15 °C; ИСА: 1,225 кг/м³)
Скоростьvм/с (метр/с)Спуск на парашюте 6,4 м/с; посадка 1 м/с
Сопротивление воздухаF_сопрН (ньютон)F = 0,5·ρ·v²·S·C; 6 Н при v=10 м/с, S=0,1 м², C=1
Коэффициент тренияμ— (безразмерная величина)0,6 (бетон); сила трения F = μ·N = 14,7 Н
↑ К оглавлению

3. Сила как вектор

Сила (Force, рисунок — Wikipedia) / Сила — векторная величина: имеет величину, направление и точку приложения. Единица — ньютон (Н): 1 Н — сила, которая даёт телу массой 1 кг ускорение 1 м/с². Сила задаётся как вектор (рисунок — Wikipedia) / Вектор (математика) F = (Fx, Fy, Fz); величина |F| = √(Fx² + Fy² + Fz²).

ОперацияФормулаПрименение
Сложение (правило параллелограмма)R = F₁ + F₂; |R|² = F₁² + F₂² + 2·F₁·F₂·cos αсумма тяги двух моторов, тяга + аэродинамическая сила
Разложение по осямFx = F·cos α, Fy = F·sin αнаклонный винт, наклонное крыло, трос под углом
Равнодействующая n силR = ΣFi (по осям: Rx = ΣFxᵢ)суммарная нагрузка на раму
Ординаты сил — основа всех расчётов. Любую силу разлагаем по осям X/Y/Z, суммируем по осям и решаем скалярные уравнения. Оси выбираем так, чтобы как можно больше сил ложилось на оси (наклонный трос — на X/Y, вертикальные — на Z).
↑ К оглавлению

4. Равновесие материальной точки

Равновесие (рисунок — Wikipedia) / Механическое равновесие материальной точки — состояние, при котором равнодействующая всех сил равна нулю:

УсловиеФормаСмысл
ВекторноеΣF = 0равнодействующая равна нулю
Скалярные (3 уравнения)ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣFz = 0независимые уравнения по осям; для плоской задачи — 2 (ΣFx = 0, ΣFy = 0)

Равновесие — предмет статики (рисунок — Wikipedia) / Статика. Для твёрдого тела (не точки) добавляется условие равновесия моментов: \(\Sigma M = 0 \) (статья 57). Виды равновесия: устойчивое (возмущение → возврат), неустойчивое (возмущение → расхождение), безразличное. Дрон в удержании (hover) — статическое равновесие по вертикали: подъёмная сила винтов = вес (статья 60 — кинематика; статья 73 — нагрузки в полёте).

↑ К оглавлению

5. Треугольник сил

Если на точку действуют три неперекрёстные силы и точка в равновесии, то векторы этих сил, отложенные последовательно (концевое сращение), образуют замкнутый треугольник. Каждая сторона параллельна своей силе; длина пропорциональна величине. Величины сторон находятся теоремой синусов:

ВеличинаФормула
Теорема синусовF₁/sin α₁ = F₂/sin α₂ = F₃/sin α₃ (αᵢ — углы треугольника, противолежащие сторонам Fᵢ)
Особый случай: два равных троса под углом α друг к другу2·T·cos(α/2) = P → T = P / (2·cos(α/2))
Чем шире угол, тем сильнее натяжение. При \(\alpha = 120\,° \) \(\\cos (60\,°) = 0{,}5 \) → T = P (каждый трос несёт весь вес). При \(\alpha = 180\,° \) (горизонтальный трос) \(\\cos 90\,° = 0 \) → T → ∞: груз невозможно удержать горизонтальным тросом — только под углом. Это же правило работает для парашютных строп и оттяжек антенн.
↑ К оглавлению

6. Базовые силы на БПЛА

СилаФормула/описаниеТиповые значения (дрон 2,5 кг)
Вес (рисунок — Wikipedia) / ВесP = m·g; g = 9,81 м/с²2,5 · 9,81 ≈ 24,5 Н (≈ 2,5 кгс)
Подъёмная сила винтовL = m·g (в hover); до 2–4·m·g (форсаж, манёвр)24,5 Н (hover); 49–98 Н (манёвр)
Нормальная реакция опоры N (рисунок — Wikipedia) / Сила нормальной реакцииN — реакция опоры, перпендикулярная поверхности; при статике: N = P − L24,5 Н (на земле без тяги); 0 Н (в hover)
Натяжение троса/стропа T (рисунок — Wikipedia) / Сила натяжениявдоль троса; для двух строп под углом α: T = P/(2·cos(α/2))парашют: 12–25 Н (каждый створ); оттяжка: 20–100 Н
Сопротивление воздухаF = 0,5·ρ·v²·S·C (в категории «Аэродинамика» — подробно)на v = 10 м/с, S = 0,1 м², C = 1: 6 Н
Сила тренияF = μ·N (статья 59)посадка на бетон: 14,7 Н (μ = 0,6)

Перевод величин: 1 кгс (килограмм-сила) = 9,80665 Н, в расчётах статьи — 9,81 Н. В авиации силу иногда указывают в кгс, а массу — в килограммах: «дрон весит 2,5 кг» означает вес 24,5 Н, и в расчётах сил его переводят в ньютоны.

↑ К оглавлению

7. Свободное тело: методика расчёта

Схема свободного тела (Free Body Diagram, рисунок — Wikipedia) / Диаграмма Максвелла — Кремоны — изоляция расчётного объекта, на который нанесены все приложенные силы. Алгоритм:

  • Шаг 1. Изоляция: отрисовать только объект (дрон, трос, ногу шасси), окружение — линиями/стрелками.
  • Шаг 2. Оси: выбрать X/Y/Z так, чтобы большинство сил ложилось на оси (вертикаль — Z, вдоль полёта — X).
  • Шаг 3. Силы: нанести все силы: вес (вниз, \(P = m\cdot g \)), реакции (N, перпендикулярно опоре), натяжения (вдоль троса), тягу/подъёмную (по направлению), трение (против движения/скольжения).
  • Шаг 4. Уравнения: \(\Sigma Fx = 0 \), \(\Sigma Fy = 0 \), \(\Sigma Fz = 0 \) (для статики) или \(\Sigma F = m\cdot a \) (для динамики, статья 61).
  • Шаг 5. Решение и проверка: найти неизвестные; проверить знак (реакция не может быть «в пол») и величину (на порядок).

Пример 1 — hover. Дрон 2,5 кг висит: \(L = P = 24{,}5\ \text{Н} \), N = 0, \(F_{x} = 0 \). Четыре мотора тянут по \(\frac{24{,}5}{4} = 6{,}1\ \text{Н} \) каждый.

Пример 2 — на земле, один мотор форсирует. Дрон стоит, подъёмная сила \(L = 12\ \text{Н} \) (частичный газ): \(N = P - L = 24{,}5 - 12 = 12{,}5\ \text{Н} \) (опора держит остаток). При \(L = 24{,}5\ \text{Н} \) — N = 0, взлёт; при \(L = 49\ \text{Н} (2 g) \) — дрон ускоряется вверх: \(a = \frac{L - P}{m} \) = 9,81 м/с² (статья 61).

↑ К оглавлению

8. Практика: типовые задачи (с решениями)

Задача 1. Вес дрона

Задача. Масса дрона 2,5 кг. Найти вес в ньютонах. Сколько кгс это? Сколько поднимет каждый из 4 моторов в hover?

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Масса дрона m2,5 кг
Ускорение свободного падения g9,81 м/с²
Число моторов4 шт.

Искомые параметры: вес P (Н и кгс); подъёмная сила на мотор в hover L₁ (Н).

Решение.

  1. Вес: \(P = m\cdot g = 2{,}5 \cdot 9{,}81 = 24{,}5\ \text{Н} \).
  2. В кгс: 24,5 / 9,81 = 2,5 кгс (по определению 1 кгс = 9,80665 Н, здесь — округление до 9,81 Н).
  3. Каждый мотор: \(L_{1} = \frac{P}{4} = \frac{24{,}5}{4} = 6{,}1\ \text{Н} \) (0,63 кгс тяги).
Ответ: \(24{,}5\ \text{Н} = 2{,}5 \) кгс; мотор — 6,1 Н.

Вывод. При подборе моторов/винтов тяга на мотор в hover — 0,63 кгс; с запасом на манёвр (2 g) — 1,25 кгс на мотор (статья 35, подбор BLDC).

Задача 2. Дрон на двух оттяжках

Задача. Дрон 2,5 кг подвешен к двум оттяжкам, образующим угол 120° друг с другом (симметрично). Найти натяжение каждой оттяжки. Каково натяжение при угле 60°?

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Вес дрона P24,5 Н (2,5 кг)
Угол между оттяжками α (случай 1)120°
Угол между оттяжками α (случай 2)60°

Искомые параметры: натяжение каждой оттяжки T (Н) при 120° и 60°.

Решение.

  1. Формула двух равных тросов: \(T = P / (2\cdot \\cos (\alpha/2)) \).
  2. α = 120°: \(\\cos 60\,° = 0{,}5 \) → \(T = \frac{24{,}5}{2\cdot 0{,}5} = 24{,}5\ \text{Н} \) (каждая несёт весь вес).
  3. α = 60°: \(\\cos 30\,° = 0{,}866 \) → \(T = \frac{24{,}5}{1{,}732} = 14{,}1\ \text{Н} \).
Ответ: 24,5 Н (120°) и 14,1 Н (60°).

Вывод. При удвоении угла натяжение растёт в 1,73 раза — при проектировании тросов/строп (парашют, оттяжка антенны, лебёдка) угол между оттяжками держать не более 60–90°.

Задача 3. Равнодействующая двух сил

Задача. Две силы 10 Н и 15 Н под углом 90° к друг другу. Найти равнодействующую и угол к большей силе.

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Сила 1 F₁10 Н
Сила 2 F₂15 Н
Угол между силами α90°

Искомые параметры: равнодействующая R (Н); угол β к большей силе (°).

Решение.

  1. При \(\alpha = 90\,° \): |R| = √(F₁² + F₂²) = √(10² + 15²) = √325 = 18,0 Н.
  2. Угол: \(\\tan \beta = \frac{10}{15} = 0{,}667 \) → β = arctg \(0{,}667 \approx 33{,}7\,° \) (к большей силе).
Ответ: 18,0 Н, 33,7° к большей.

Вывод. При перпендикулярных силах равнодействующая — гипотенуза; «1+1 ≠ 2» — векторное сложение.

Задача 4. Скорость спуска на парашюте

Задача. Дрон 2,5 кг, парашют: \(S = 1\ \text{м}^{2} \), \(C = 1{,}0 \); \(\rho = 1{,}2\ \text{кг/м}^{3} \). Найти установившуюся (конечную) скорость спуска. Время и путь с 2000 м?

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Вес дрона m·g24,5 Н (2,5 кг)
Площадь парашюта S1 м²
Коэффициент лобового сопротивления C1,0 (безразмерная величина)
Плотность воздуха ρ1,2 кг/м³
Высота сброса2000 м

Искомые параметры: установившаяся скорость спуска v (м/с); время t (мин); снос при ветре 5 м/с (км).

Решение.

  1. При v = const: \(F_{сопр} = P \) → \(0{,}5\cdot \rho\cdot v^{2}\cdot S\cdot C = m\cdot g \) → \(v = \sqrt{\frac{m\cdot g}{0{,}5\cdot \rho\cdot S\cdot C}} \).
  2. v = √(24,5 / (0,5·1,2·1·1)) = √(24,5/0,6) = √40,8 = 6,4 м/с.
  3. Время: \(t = \frac{2000}{6{,}4} = 313\ \text{с} \approx 5{,}2\ \text{мин} \). Снос при ветре 5 м/с: \(313 \cdot 5 = 1565\ \text{м} \approx 1{,}6\ \text{км} \).
Ответ: 6,4 м/с; 5,2 мин; снос ~1,6 км при ветре 5 м/с.

Вывод. Парашютный сброс дрона планируют с ветром: точка приземления — в 1,5–2 км по ветру от точки сброса.

Задача 5. Удар при посадке

Задача. Дрон 2,5 кг садится. Найти нормальную реакцию на опору при посадке с вертикальной скоростью 1 м/с и торможении на 0,1 м (амортизация стоек).

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
Масса дрона m2,5 кг
Скорость посадки v1 м/с
Ход амортизатора s0,1 м
Ускорение свободного падения g9,81 м/с²

Искомые параметры: нормальная реакция N (Н); удельная нагрузка (g).

Решение.

  1. Ускорение торможения: \(v^{2} = 2\cdot a\cdot s \) → \(a = \frac{v^{2}}{2\cdot s} = \frac{1}{2\cdot 0{,}1} = 5\ \text{м/с}^{2} \).
  2. Удельная нагрузка: \(\frac{g + a}{g} = \frac{9{,}81+5}{9{,}81} = 1{,}5 g \).
  3. N = m·(g + a) = 2,5 · 14,81 = 37,0 Н (≈ 3,8 кгс).
Ответ: 37 Н (1,5 g).

Вывод. Посадка 1 м/с с ходом амортизатора 0,1 м — 1,5 g; при ударе 3 м/с (\(a = 45\ \text{м/с}^{2} \)) — 5,6 g: стойки и рама рассчитываются на 3–6 g (статья 74, перегрузки).

↑ К оглавлению

9. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓НавыкПроверка
Векторыскладываю/разлагаю силы; равнодействующая по осям
РавновесиеΣFx = ΣFy = ΣFz = 0; статика точки; твёрдое тело + ΣM = 0 (ст. 57)
Треугольник силтеорема синусов; T = P/(2·cos(α/2)); угол 120° → T = P
Силы БПЛАP = m·g; N = P − L; T троса; F = 0,5·ρ·v²·S·C
Свободное тело5 шагов: изоляция → оси → силы → уравнения → проверка
↑ К оглавлению

10. Источники

  1. Wikipedia, «Force» — сила (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Force / ru.wikipedia.org/wiki/Сила (Сила)
  2. Wikipedia, «Vector (mathematics)» — вектор (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Vector_(mathematics) (mathematics) / ru.wikipedia.org/wiki/Вектор_(математика) (Вектор (математика)) Vector_(mathematics_and_physics)
  3. Wikipedia, «Equilibrium» — равновесие (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_equilibrium / ru.wikipedia.org/wiki/Механическое_равновесие (Механическое равновесие)
  4. Wikipedia, «Statics» — статика (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Statics / ru.wikipedia.org/wiki/Статика (Статика)
  5. Wikipedia, «Weight» — вес (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Weight / ru.wikipedia.org/wiki/Вес (Вес)
  6. Wikipedia, «Normal force» — нормальная реакция (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Normal_force / ru.wikipedia.org/wiki/Сила_нормальной_реакции (Сила нормальной реакции)
  7. Wikipedia, «Tension» — натяжение (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Tension_(physics) / ru.wikipedia.org/wiki/Сила_натяжения (Сила натяжения)
  8. Wikipedia, «Free body diagram» — схема свободного тела (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Free_body_diagram / ru.wikipedia.org/wiki/Диаграмма_Максвелла_—_Кремоны (Диаграмма Максвелла — Кремоны)
  9. Статьи цикла 35 (моторы: тяга), 57 (моменты — твёрдое тело), 59 (трение), 61 (динамика), 73–74 (нагрузки, перегрузки) — смежные разделы. \(g = 9{,}81\ \text{м/с}^{2} \); \(g = 9{,}81\ \text{м/с}^{2} \) — округление стандартного ускорения свободного падения 9,80665 м/с²; \(\rho = 1{,}2\ \text{кг/м}^{3} \) — округление плотности воздуха у уровня моря по ИСА (1,225 кг/м³).

Числовые примеры рассчитаны автором; \(g = 9{,}81\ \text{м/с}^{2} \), ρ_возд. = 1,2 кг/м³ — округлённые; «1 кгс = 9,81 Н» — по определению килограмм-силы. Проверено: 03.09.2026.

↑ К оглавлению
  • мод. : Воскресенье, 13 сентября 2026