57. Момент силы, пара сил, момент пары #

Момент силы определяет, насколько сила вращает тело вокруг оси: \(M = F\cdot d \), где d — плечо. Пара сил создаёт вращение без смещения; её момент \(M = F\cdot a_{не} \) зависит от выбора оси. Разбираем расчёт моментов, равновесие твёрдого тела \((\Sigma M = 0) \), пару сил на винтах мультиротора и типичные значения для БПЛА (беспилотного летательного аппарата).

Содержание

1. Цели статьи
- Что вы сможете после прочтения
2. Глоссарий величин
- Все величины с единицами измерения
3. Момент силы
- M = F·d, плечо, направление
4. Пара сил и момент пары
- F и −F, M = F·a, независимость от оси
5. Равновесие твёрдого тела
- ΣF = 0 и ΣM = 0; рычаг, балка
6. Моменты на мультироторе
- Пара сил на винтах, рыскание, X-конфигурация
7. Практика: типовые задачи
8. Резюме
- Чек-лист самопроверки
9. Источники
- Референсы

1. Цели статьи

Рассчитывать момент силы \(M = F\cdot d \) и определять плечо.
Различать момент силы (зависит от оси) и момент пары сил (не зависит от оси).
Формулировать условия равновесия твёрдого тела: \(\Sigma F = 0 \) и \(\Sigma M = 0 \).
Применять к мультиротору: момент винтов, рыскание, X-конфигурация, отказ мотора.

↑ К оглавлению

2. Глоссарий величин

Все величины, используемые в статье, с единицами измерения (СИ):

Величина	Обозначение	Единица	Что это
Момент силы	M	Н·м (ньютон-метр)	M = F·d = F·r·sin α; не путать с джоулем (1 Дж = 1 Н·м по размерности)
Сила	F	Н (ньютон)	40 Н (ключ на гайку), 20 Н (руль)
Плечо силы	d	м (метр)	Перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы; d = 0 → M = 0
Расстояние от оси	r	м (метр)	До точки приложения; ключ 0,25 м
Угол между F и r	α	° (градус)	30–90°; максимум — при F ⊥ r (sin α = 1)
Плечо пары	a	м (метр)	Расстояние между линиями действия F и −F; руль 0,3 м
Момент пары сил	M	Н·м (ньютон-метр)	M = F·a; 6 Н·м (руль 0,3 м × 20 Н); не зависит от оси
Масса	m	кг (килограмм)	Рычаг: 3 кг на 0,4 м = 2 кг на 0,6 м
Мощность на валу	P	Вт (ватт)	100 Вт (мотор 2212–2306)
Обороты	n	об/мин (мин⁻¹)	8000 об/мин
Угловая скорость	ω	рад/с (радиан/с)	ω = 2π·n/60 = 838 рад/с
Реакционный момент винта	M	Н·м (ньютон-метр)	M = P/ω = 0,12 Н·м; X-конфигурация CW/CCW даёт ΣM ≈ 0

↑ К оглавлению

3. Момент силы

Момент силы (Torque, рисунок — Wikipedia) / Момент силы — мера вращательного действия силы относительно оси. Определяется как произведение силы на её плечо (Moment, рисунок — Wikipedia) / Момент (физика):

Величина	Формула	Заметка
Момент силы	M = F · d	d — перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы (плечо)
Через угол	M = F · r · sin α	r — расстояние от оси до точки приложения; α — угол между F и r
Единица	Н·м (ньютон-метр)	не путать с джоулем (1 Дж = 1 Н·м по размерности, но момент — вектор)
Направление	вдоль оси (правило правого винта)	против часовой — +; по часовой — − (выбираем знак)

Плечо, а не расстояние. Сила, приложенная вдоль линии, проходящей через ось, даёт M = 0 (плечо d = 0) — сколько ни тяни «в центр», тело не вращается. Максимальный момент — при F ⊥ \(r (\\sin \alpha = 1) \). Это причина, почему ключ заводят «в перпендикуляр», а дверную ручку ставят далеко от петли.

↑ К оглавлению

4. Пара сил и момент пары

Пара сил — две равные и противоположно направленные силы, не лежащие на одной линии: F и −F, с плечом (расстоянием между линиями действия) a. Равнодействующая пары равна нулю \((\Sigma F = 0) \) — тело не смещается, но вращается: момент пары

Величина	Формула	Свойство
Момент пары	M = F · a	a — расстояние между линиями действия (плечо пары)
Независимость от оси	M = const	момент пары один и тот же относительно любой оси — ключевое отличие от момента силы
Пример	руление, гайка, руль	два пальца создают пару: вращение без смещения

Почему момент пары не зависит от оси. Моменты каждой из сил F и −F относительно любой оси складываются так, что вклад «точки» сокращается; остаётся только F·a. Поэтому пару сил нельзя «скомпенсировать сдвиганием» — её можно лишь заменить другой парой с тем же F·a.

↑ К оглавлению

5. Равновесие твёрдого тела

Для твёрдого тела (статья 56 — точка) добавляется условие равновесия моментов. Полные условия статики:

Условие	Уравнения	Смысл
Не смещается	ΣF = 0 (три: ΣFx, ΣFy, ΣFz)	равнодействующая равна нулю
Не вращается	ΣM = 0 (три: ΣMx, ΣMy, ΣMz)	суммарный момент относительно любой оси = 0

Плоская задача (силы в одной плоскости) — 3 уравнения: \(\Sigma Fx = 0 \), \(\Sigma Fy = 0 \), \(\Sigma M = 0 \) (момент относительно одной точки). Типовые схемы:

Рычаг (первого рода): опора посередине; \(F_{1}\cdot d_{1} = F_{2}\cdot d_{2} \) (правило рычага). Равновесие весов: \(m_{1}\cdot g\cdot d_{1} = m_{2}\cdot g\cdot d_{2} \) → \(m_{1}\cdot d_{1} = m_{2}\cdot d_{2} \).
Балка на двух опорах: реакции опор находят из \(\Sigma Fz = 0 \) и \(\Sigma M = 0 \) относительно одной из опор.
Дрон на земле: четыре ноги — четыре реакции; \(\Sigma Fz = 4\cdot N = P \); моменты дают распределение по ногам (смещение центра тяжести — статья 58).

↑ К оглавлению

6. Моменты на мультироторе

Каждый винт, вращаясь, создаёт на раму реакционный момент (третий закон Ньютона — статья 61): винт давит на воздух, воздух давит на винт с моментом в противоположную сторону. Для квадрокоптера (X-конфигурация):

Баланс в hover: два мотора вращаются по часовой стрелке (CW), два — против (CCW). Суммарный реакционный момент ≈ 0 — рама не рыскает.
Управление рысканием (yaw): прошивка слегка разносит обороты CW и CCW пар → ненулевой суммарный момент → вращение вокруг вертикали.
Отказ одного мотора: баланс моментов нарушается → дрон резко начинает рыскать; прошивка компенсирует (если есть запас тяги), иначе — RTH/посадка (статья 89 — failsafe).
Наклон (pitch/roll): дифференциал тяги по парам создаёт момент наклона; реакционные моменты CW/CCW частично компенсируются.

Почему X-конфигурация, а не «все в одну сторону». Если все 4 мотора вращались в одну сторону, реакционный момент не компенсировался — рама бы непрерывно рыскала. X- и H-конфигурации ставят CW/CCW чередующимися, чтобы \(\Sigma M_{z} \approx 0 \) в hover и управлять рысканием дифференциалом.

↑ К оглавлению

7. Практика: типовые задачи (с решениями)

Задача 1. Момент силы с плечом

Задача. Ключ длиной 0,25 м действует на гайку силой 40 Н перпендикулярно рукоятке. Найти момент силы. Если угол между ключом и силой — 30°, какой момент?

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Длина ключа r	0,25 м
Сила F	40 Н
Угол α (случай 1)	90° (перпендикулярно)
Угол α (случай 2)	30°

Искомые параметры: момент силы M (Н·м) при 90° и 30°.

Решение.

Перпендикулярно (d = r): \(M = F\cdot r = 40 \cdot 0{,}25 = 10\ \text{Н·м} \).
При \(\alpha = 30\,° \): \(M = F\cdot r\cdot \\sin 30\,° = 40 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 5\ \text{Н·м} \).

Ответ: 10 Н·м (90°) и 5 Н·м (30°).

Вывод. Момент падает с sin α — «заводить ключ по касательной» вдвое слабее перпендикуляра при том же усилии.

Задача 2. Пара сил

Задача. Руль диаметром 0,3 м (две противоположные точки, плечо \(a = 0{,}3\ \text{м} \)). В каждую точку действует сила 20 Н навстречу друг другу. Найти момент пары. Зависит ли он от выбора оси?

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Плечо пары a	0,3 м
Сила в каждой точке F	20 Н

Искомые параметры: момент пары M (Н·м); зависимость от оси.

Решение.

Момент пары: \(M = F\cdot a = 20 \cdot 0{,}3 = 6\ \text{Н·м} \).
Момент пары — один и тот же относительно любой оси (свойство из §3): от выбора оси не зависит.

Ответ: 6 Н·м, от оси не зависит.

Вывод. Пары сил «переносимы» по телу — важно лишь F·a.

Задача 3. Рычаг: баланс массы

Задача. Балка с опорой посередине. На расстоянии 0,4 м слева — масса 3 кг. Где справа (на каком расстоянии) повесить 2 кг, чтобы балка была в равновесии?

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Масса слева m₁	3 кг
Плечо слева d₁	0,4 м
Масса справа m₂	2 кг

Искомые параметры: плечо справа d₂ (м).

Решение.

Правило рычага: \(m_{1}\cdot d_{1} = m_{2}\cdot d_{2} \).
d₂ = m₁·d₁/m₂ = 3 · 0,4 / 2 = 0,6 м.

Ответ: 0,6 м.

Вывод. Меньшая масса уравновешивает большую на большем плече — тот же принцип для центра тяжести (статья 58).

Задача 4. Момент винта

Задача. Мощность на валу мотора 100 Вт, обороты 8000 об/мин. Найти крутящий момент на валу. Какой реакционный момент действует на раму от этого мотора?

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Мощность P	100 Вт
Обороты n	8000 об/мин

Искомые параметры: угловая скорость ω (рад/с); момент на валу M (Н·м); реакционный момент на раму (Н·м).

Решение.

Угловая скорость: \(\omega = 2\pi\cdot \frac{n}{60} = 2\pi\cdot \frac{8000}{60} = 838\ \text{рад/с} \).
Момент на валу: \(M = \frac{P}{\omega} = \frac{100}{838} = 0{,}119\ \text{Н·м} \).
Реакционный момент на раму — 0,119 Н·м в противоположном направлении (третий закон Ньютона).

Ответ: 0,12 Н·м на валу и 0,12 Н·м (противоположный) на раму.

Вывод. Четыре мотора по 0,12 Н·м — в X-конфигурации CW/CCW компенсируют друг друга \((\Sigma M_{z} \approx 0) \); в одну сторону — 0,48 Н·м суммарного рыскания.

Задача 5. Рыскание при отказе мотора

Задача. Квадрокоптер: четыре мотора по 0,12 Н·м реакционного момента, CW/CCW чередуются. Один CW-мотор отказал. Найти суммарный нескомпенсированный момент и направление рыскания.

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Реакционный момент одного мотора	0,12 Н·м
Число моторов (CW / CCW)	2 / 2
Отказ	один CW-мотор

Искомые параметры: суммарный момент на раму M (Н·м); направление рыскания.

Решение.

Реакционный момент действует на раму в сторону, противоположную вращению винта (третий закон Ньютона): CW-винт → момент на раму CCW, CCW-винт → момент на раму CW.
До отказа: 2 CW (на раму 2·0,12 = 0,24 CCW) + 2 CCW (на раму 0,24 CW) — скомпенсированы, \(\Sigma M = 0 \).
После отказа CW-мотора: на раму остаются 1 CW (0,12 CCW) и 2 CCW (0,24 CW): \(M_{рамы} = 0{,}24 - 0{,}12 = 0{,}12\ \text{Н·м} \) по часовой (вид сверху).

Ответ: 0,12 Н·м на раму, рыскание по часовой стрелке (вид сверху) — по направлению реактивного момента преобладающей (CCW) пары винтов.

Вывод. При отказе одного мотора дрон несбалансирован по рысканию — прошивка компенсирует дифференциалом тяги (если есть запас), иначе — управляемое снижение.

↑ К оглавлению

8. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓	Навык	Проверка
	Момент силы	M = F·d = F·r·sin α; плечо — перпендикуляр; Н·м
	Пара сил	ΣF = 0, M = F·a; не зависит от оси
	Равновесие тела	ΣF = 0 и ΣM = 0; рычаг m₁d₁ = m₂d₂; балка
	Мультиротор	реакционный момент винта; X-конфигурация CW/CCW; рыскание; отказ мотора
	Мощность и момент	M = P/ω; ω = 2πn/60

↑ К оглавлению

9. Источники

Wikipedia, «Torque» — момент силы (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Torque / ru.wikipedia.org/wiki/Момент_силы (Момент силы)
Wikipedia, «Moment (physics)» — момент, плечо (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Moment_(physics) (physics) / ru.wikipedia.org/wiki/Момент_(физика) (Момент (физика))
Wikipedia, «Statics» — статика (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Statics / ru.wikipedia.org/wiki/Статика (Статика)
Wikipedia, «Free body diagram» — схема свободного тела (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Free_body_diagram / ru.wikipedia.org/wiki/Диаграмма_Максвелла_—_Кремоны (Диаграмма Максвелла — Кремоны)
Статьи цикла 56 (силы, равновесие точки), 58 (центр тяжести), 61 (третий закон Ньютона), 62 (момент инерции винта), 89 (failsafe при отказе мотора) — смежные разделы. Числовые примеры рассчитаны автором.

Числовые примеры (момент винта 0,12 Н·м при 100 Вт / 8000 об/мин) — типовые для BLDC-моторов 2212–2306 с 10–12" винтами; \(g = 9{,}81\ \text{м/с}^{2} \) — стандартное. Проверено: 03.09.2026.

↑ К оглавлению

мод. : Воскресенье, 13 сентября 2026