60. Кинематика: поступательное и вращательное движение #

Задача. Дрон разгоняется с места \(\text{с} a = 5\ \text{м/с}^{2} \) до 15 м/с. Найти время разгона и пройденный путь.

Заданные параметры:

Искомые параметры: время разгона t (с); пройденный путь s (м).

Решение.

1. t = (v − v₀)/a = 15/5 = 3 с.
2. s = a·t²/2 = 5·9/2 = 22,5 м (v₀ = 0).

Вывод. Разгон на 15 м/с — 22,5 м; при старте с руки/площадки этот путь должен быть свободен от препятствий.

Задача. Винт диаметром \(0{,}3\ \text{м} (R = 0{,}15\ \text{м}) \) вращается 8000 об/мин. Найти угловую скорость (рад/с) и линейную скорость края.

Заданные параметры:

Искомые параметры: угловая скорость ω (рад/с); линейная скорость края v_края (м/с).

Решение.

1. ω = 2π·n/60 = 2π·8000/60 = 838 рад/с.
2. v_края = ω·R = 838 · 0,15 = 125,7 м/с ≈ 126 м/с (≈ 452 км/ч).
3. Отношение к звуку: \(\frac{126}{340} \approx 0{,}37 (M = 0{,}37) \).

Вывод. Край винта летит со скоростью 126 м/с (0,37 скорости звука, 340 м/с); на высоких оборотах — аэродинамические потери и шум (статья 62).

Задача. Дрон летит 10 м/с, разворот на 180° по окружности радиусом 20 м. Найти центростремительное ускорение, время разворота и длину дуги.

Заданные параметры:

Искомые параметры: центростремительное ускорение a_c (м/с²); время разворота t (с); длина дуги s (м).

Решение.

1. a_c = v²/R = 100/20 = 5 м/с² (≈ 0,5 g).
2. Угловая скорость: \(\omega = \frac{v}{R} = \frac{10}{20} = 0{,}5\ \text{рад/с} \); время: \(t = \frac{\varphi}{\omega} = \frac{\pi}{0{,}5} = 6{,}28\ \text{с} \).
3. Дуга: \(s = R\cdot \varphi = 20\cdot \pi = 62{,}8\ \text{м} \).

Вывод. Разворот 180° на 20 м — 0,5 g; для точного «разворота в точке» (hover + рыскание) дрон не описывает дугу, а вращается на месте (ω задано прошивкой).

Задача. Дрон набирает высоту \(\text{с} v_{z} = 2\ \text{м/с} \). Найти время набора с 0 до 100 м (вертикальный путь). Если набор начинается с разгона \(a_{z} = 1\ \text{м/с}^{2} \) до 2 м/с — какое время добавится?

Заданные параметры:

Искомые параметры: время набора при равномерном движении t (с); время с разгоном (с).

Решение.

1. Равномерно: \(t = \frac{100}{2} = 50\ \text{с} \).
2. Разгон: \(t_{разг} = \frac{2}{1} = 2\ \text{с} \); за это пройдено \(s_{разг} = a\cdot \frac{t^{2}}{2} = 1\cdot \frac{4}{2} = 2\ \text{м} \).
3. Остаток 98 м при 2 м/с: 49 с. Итого 51 с (+1 с к равномерному).

Вывод. Набор высоты — 1–3 м/с; 100 м — 50–100 с; разгон добавляет доли секунды — пренебрежимо.

Задача. Винт 12" \((R = 0{,}152\ \text{м}) \) на 6000 об/мин. Найти скорость края. Какую долю скорости звука (340 м/с) она составляет (число Маха M)? Какова линейная скорость точки на середине радиуса (R/2)?

Заданные параметры:

Искомые параметры: скорость края v_края (м/с); отношение к скорости звука (число Маха M); скорость точки на R/2 (м/с).

Решение.

1. ω = 2π·6000/60 = 628 рад/с.
2. v_края = 628 · 0,152 = 95,5 м/с.
3. Отношение к звуку: \(\frac{95{,}5}{340} = 0{,}28 (M = 0{,}28) \). На R/2: \(v = \omega\cdot (R/2) = 628 \cdot 0{,}076 = 47{,}7\ \text{м/с} \) (в 2 раза меньше края).

Вывод. Линейная скорость по винту — линейная функция радиуса; нагрузка/шум растут к краю.