Анализ функций в Python

1. Цели урока

• Освежить базовые понятия матанализа, которые понадобятся дальше: функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения.
• Повторить, какие бывают числовые множества и зачем вообще различать типы чисел.
• Подготовиться к изучению SymPy — библиотеки для символьной математики.

2. Python и математика: символьные вычисления и численные расчёты

Потребности математики действительно огромны, и программирование не заменяет математику целиком. Но для большого класса задач Python подходит хорошо — именно из‑за универсальности и большого выбора библиотек.

Во многих языках программирования (и в Python тоже) для математических задач обычно выделяют два подхода:

• Символьные вычисления — когда мы работаем с выражениями, формулами и уравнениями как с наборами символов. Это близко к тому, что делают в школьной алгебре: упрощают выражения, преобразуют формулы, ищут решения в общем виде.
• Численные расчёты — когда нас интересуют приближённые значения и вычисления с учётом округлений. Здесь мы подставляем числа, считаем значения и получаем результат в виде числа.

Высшая математика — математический анализ, алгебра, дискретная математика, вероятность, статистика и другие дисциплины — как правило, включают оба подхода.

Python можно применять и для символики, и для численных методов. Но прежде чем обсуждать инструменты языка и библиотек, полезно восстановить в памяти базовые математические идеи.

# Идея двух подходов (краткая иллюстрация):
import math

x = 3
print(math.sqrt(x))  # численно: получаем приближённое число

# символьно (превью — подробно будет дальше с SymPy)
# import sympy as sp
# x = sp.Symbol('x', positive=True)
# expr = sp.sqrt(x)
# print(sp.diff(expr, x))  # формула производной

Частая путаница: «точно» и «приближённо»

3. Числовые множества

3.1. Как «устроены» числа в математике

Начнём с того, как в математике группируют числа. Числовые множества — это наборы чисел, объединённые общими свойствами. Такое разделение помогает понимать, какие операции и утверждения применимы.

1. Натуральные числа — это положительные целые числа, начинающиеся с 1 и уходящие в бесконечность. Обозначаются символом \( \mathbb{N} \).

Примеры натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, …

2. Целые числа — это натуральные числа, их «отрицательные пары» и ноль. Обозначаются \( \mathbb{Z} \). Они нужны там, где появляются отрицательные значения: долги, изменения температуры, смещения и т.п.

Примеры целых чисел: −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …

3. Рациональные числа — это числа, которые можно записать как дробь \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) — целые, а \(q \ne 0\). Обозначаются \( \mathbb{Q} \).

Примеры рациональных чисел: \( \frac{3}{5} \), \( -\frac{7}{2} \), \( \frac{11}{4} \), 0.125, …

4. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. В десятичной записи у них бесконечное количество знаков без периода. Часто встречаются константы и корни: \( \pi \), \( e \), \( \sqrt{3} \) и т.д. Обозначение в конспектах бывает разным; здесь будем использовать \( \mathbb{I} \).

5. Вещественные числа — это все рациональные и иррациональные вместе. Обозначаются \( \mathbb{R} \). В прикладных задачах это одно из центральных множеств, потому что оно обладает свойством полноты: между любыми двумя вещественными числами \(a\) и \(b\) (если \(a < b\)) найдётся число \(c\) такое, что \(a < c < b\).

На первый взгляд может показаться, что вещественные числа «закрывают» все возможные ситуации. Но есть ещё одно множество, которое поначалу выглядит непривычно, однако встречается во многих приложениях — это комплексные числа.

# Примеры чисел в Python (как опора для дальнейших уроков):
import math

n = 6          # int
z = -4         # int
q = 0.125      # float (приближённое вещественное)
irr = math.sqrt(3)  # приближённое значение иррационального
c = 1 - 2j     # complex

print(n, z, q, irr, c)

3.2. Типичные ошибки

4. Функции

Одних чисел обычно недостаточно — в задачах нас интересует не только «какие числа есть», а то, как они связаны. Один из основных способов описывать такие связи — это функции.

4.1. Что такое функция

Функция — это математический объект, который каждому значению из области определения сопоставляет единственное значение из области значений. Функции нужны, чтобы описывать зависимости между величинами в математике, физике, экономике и других науках.

# Пример функции как «правила соответствия»:
def f(x):
    return 5 * x - 2

print(f(0))  # -2
print(f(4))  # 18

4.2. Элементарные функции и основные классы

Элементарные функции — это функции, которые строятся из базовых операций, степеней, логарифмов, экспонент и тригонометрии. Они служат «кирпичиками» для более сложных выражений.

1. Рациональные функции — функции, полученные из сложения, вычитания, умножения, деления и целых степеней. В общем виде:

\[ f(x)=\frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \dots + b_1 x + b_0}. \]

Частные случаи:

• линейная функция: \[ f(x)=ax+b \]
• квадратичная функция: \[ f(x)=ax^2+bx+c \]
• обратная пропорциональность: \[ f(x)=\frac{k}{x} \]
• обратная квадратичная функция (один из типовых вариантов): \[ f(x)=\frac{1}{1+a x^2} \]

2. Иррациональные функции содержат нецелые степени (корни). Примеры:

• \( f(x)=\sqrt{1+x} \)
• \( f(x)=\sqrt[3]{x-2} \)
• \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \)

3. Показательные функции имеют вид \[ f(x)=a^x, \] где \(a\) — основание. Они быстро растут или убывают и подходят для моделей роста/затухания.

4. Логарифмические функции — обратные к показательным: \[ f(x)=\log_a(x). \]

5. Тригонометрические функции связаны с углами: синус, косинус, тангенс и другие.

Изображение: (в исходном материале был пример графиков тригонометрических функций)

4.3. Функции нескольких переменных

Иногда зависимость задаётся сразу несколькими переменными. Например, стоимость услуги может зависеть от времени и материалов. Тогда получаем функцию двух (или более) переменных.

• \( f(x,y)=x+2y \)
• \( f(x,y)=x\ln(1+y) \)
• \( f(x,y)=\sin x \cdot \cos y \)

Функции — основа моделирования: ими описывают движение, расход ресурсов, экономические зависимости и многое другое.

4.4. Типичные ошибки

5. Производная

Рассмотрим процесс, описываемый функцией \(f(x)\). Например, функция может задавать координату объекта по времени или изменение температуры по часам. По одной функции можно понять многое, но анализ становится глубже, когда мы используем производные и интегралы.

Производная отвечает на вопрос: как быстро изменяется функция.

5.1. Определение производной

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

\[ f'(x_0)=\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. \]

То есть мы смотрим, как меняется значение функции при очень малом изменении аргумента. Это и даёт «скорость изменения» вблизи выбранной точки.

5.2. Что показывает производная

• если \(f(x)\) возрастает, то \(f'(x)\) положительна;
• если \(f(x)\) убывает, то \(f'(x)\) отрицательна;
• если \(f'(x)=0\), то в точке может быть минимум, максимум или точка перегиба.

Изображение: (в исходном материале был рисунок с локальными свойствами)

Для элементарных функций производные известны и часто приводятся в таблицах. Их можно выводить по определению, но в учебной и практической работе обычно используют готовые правила.

5.3. Производные высших порядков

Производная — это функция, значит можно дифференцировать её снова. Так получают производные второго, третьего и более высоких порядков.

Пример для функции \[ f(x)=\ln(1+x). \]

Первые три производные:

• \( f'(x)=\frac{1}{1+x} \)
• \( f''(x)=-\frac{1}{(1+x)^2} \)
• \( f'''(x)=\frac{2}{(1+x)^3} \)

5.4. Частные производные

Если \(f(x,y)\) зависит от двух переменных, производные берут по каждой переменной отдельно. Производную по \(x\) считают при фиксированном \(y\), а производную по \(y\) — при фиксированном \(x\).

Пример:

\[ f(x,y)=3x^2-2xy+y^2. \]

Тогда:

\[ \frac{\partial f}{\partial x}=6x-2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-2x+2y. \]

Аналогично можно получать производные высших порядков по каждой переменной.

5.5. Типичные ошибки

6. Интеграл и дифференциальные уравнения

6.1. Неопределённый интеграл (первообразная)

К дифференцированию существует обратная операция — интегрирование. Если дана функция \(f(x)\), мы ищем такую \(F(x)\), что \(F'(x)=f(x)\).

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C,\qquad \frac{dF}{dx}=f(x). \]

Интеграл такого вида называют неопределённым, а \(F(x)\) — первообразной. Константа \(C\) обязательна, потому что производная константы равна нулю.

Пример: если \(f(x)=3x^2\), то \[ \int 3x^2\,dx = x^3 + C. \]

Неопределённый интеграл полезен в задачах, где нужно восстановить зависимость по её скорости изменения. Например, если скорость задана функцией \(v(t)\), то координата — это интеграл скорости.

Пусть \[ v(t)=\frac{A}{t+t_0}. \] Тогда \[ x(t)=\int v(t)\,dt = A\ln(t+t_0)+x_0. \]

Существует множество методов интегрирования, и обычно их изучают в курсах матанализа.

Таблица основных неопределённых интегралов

Базовые правила интегрирования (краткая памятка)

7. Практика: задачи (с решениями)

Блок 1: множества и типы

from fractions import Fraction

a = Fraction(125, 1000)  # 0.125
b = Fraction(-7, 1)      # -7

print(a)  # 1/8
print(b)  # -7

from fractions import Fraction

print(0.1 + 0.2)  # может выглядеть как 0.30000000000000004

x = Fraction(1, 10)
y = Fraction(2, 10)
print(x + y)      # 3/10

Блок 2: функции

def f(x, y):
    return 3*x**2 - 2*x*y + y**2

print(f(2, 5))  # 17

import math

def safe_ln1p(x):
    if x <= -1:
        raise ValueError("ln(1+x) определён только при x > -1 (в R)")
    return math.log(1 + x)

print(safe_ln1p(2))   # ln(3)
# print(safe_ln1p(-1))  # ValueError

Блок 3: производные/интегралы/диф. уравнения (численно)

import math

def derivative(f, x, h=1e-6):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2*h)

f = lambda x: math.log(1 + x)

print(derivative(f, 3.0))  # ~0.25

def integrate_trapezoid(f, a, b, n=200000):
    dx = (b - a) / n
    s = 0.0
    x = a
    for _ in range(n):
        s += (f(x) + f(x + dx)) * 0.5 * dx
        x += dx
    return s

res = integrate_trapezoid(lambda x: 3*x*x, 0.0, 2.0)
print(res)  # ~8.0

import math

def euler_exp_growth(P0, r, T, dt):
    t = 0.0
    P = P0
    while t < T:
        P = P + r * P * dt
        t += dt
    return P

P0 = 500
r = 0.1
T = 10
dt = 0.001

approx = euler_exp_growth(P0, r, T, dt)
exact = P0 * math.exp(r * T)

print("Euler:", approx)
print("Exact:", exact)

8. Чек‑лист самопроверки

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.