Перейти к содержимому
3

30. Виражи, спираль, петля: перегрузки в манёврах #

Манёвр — это полёт с ускорением, а ускорение — это перегрузка. Показываем, как считать перегрузку, радиус и угловую скорость виража, почему в крутом вираже растут и скорость срыва, и расход мощности, и что происходит с мультиротором в «петле» и «спирали».

Содержание

1. Цели статьи

  • Считать перегрузку n, радиус R и угловую скорость виража по крену φ и скорости V.
  • Понимать, почему в крутом вираже растёт скорость срыва (stall, рисунок — Wikipedia) / Сваливание и расход мощности.
  • Оценивать перегрузки в спиральном пикировании и в петле — включая мультироторный БПЛА (беспилотный летательный аппарат).
  • Знать, какие манёвры реально доступны малым аппаратам и что их ограничивает.
Что особенно важно запомнить:
  1. Перегрузка в вираже — не «усиление центробежной силы», а то, во сколько раз крыло (или винт) держит больше веса: n = Y/W. Крен 45° — 1,41 g, 60° — 2 g; всё остальное — скорости, мощности, нагрузки — следует из n (задачи 1, 5).
  2. В вираже скорость срыва растёт как √n: у аппарата с Vср = 11,55 м/с в крене 60° она уже 16,3 м/с, поэтому «крутой вираж на низкой скорости» — стандартный вход в сваливание (задача 2, статья 31).
  3. Вираж 45° стоит +19 % мощности (задача 3), а «чистая» петля — 6 g в нижней точке и 31,3 м/с на входе: за пределами малых мультироторов (задача 4).
↑ К оглавлению

2. Величины и единицы измерения (глоссарий)

Все величины, встречающиеся в статье и задачах, — в одной таблице. Безразмерные величины (коэффициенты, перегрузка) единиц не имеют, для них в колонке «Единица» — прочерк или условное «g».

СимволВеличинаЕдиницаТипичное значение в задачах
φкренградусы (°)30–70
nперегрузка — во сколько раз крыло держит больше весаg (безразмерное)1,15–6
Vскорость полётам/с15–31,3
Rрадиус виражам8,4–63
ωугловая скорость поворотарад/с (°/с)0,654 (37,5)
gускорение свободного падениям/с²9,80665
Wсила тяжести (вес)Н9,8
Yподъёмная силаНn·W
Vсрскорость срывам/с11,55
Cyкоэффициент подъёма (безразмерное)—0,2965–0,419
Cxкоэффициент сопротивления (безразмерное)—0,02466–0,0293
Kфактор индуктивного сопротивления (безразмерное)—0,053
Cx0сопротивление при нулевой подъёмной силе (безразмерное)—0,02
qдинамическое давлениеПа137,8
Sплощадь крылам²0,12
PмощностьВт6,11–7,26
↑ К оглавлению

3. Наклонный вираж: формулы

Аппарат кренится на угол φ и несётся по дуге. Подъёмная сила Y стоит «на вес и на кривизну»: вертикальная составляющая держит вес, горизонтальная — это центробежная сила, гнущая траекторию. Из двух уравнений (Y·cos φ = W и Y·sin φ = mV²/R) — три рабочих формулы перегрузки (рисунок — Wikipedia):

\[ n = \frac{1}{\cos\varphi} \qquad R = \frac{V^2}{g\sqrt{n^2-1}} = \frac{V^2}{g\,\tan\varphi} \qquad \omega = \frac{g\tan\varphi}{V} \]

где n — перегрузка, R — радиус, ω — угловая скорость поворота, g = 9,80665 м/с². Заметьте: при том же крене радиус зависит от скорости как V² — удвоить скорость — значит увеличить радиус виража в четыре раза.

Крен φПерегрузка nРадиус при V = 15 м/сКомментарий
30°1,15≈ 39,7 мтиповой «рабочий» вираж
45°1,41≈ 22,9 мманёвр с заметным ростом расхода мощности
60°2,0≈ 13,2 мграница возможностей малых аппаратов
70°2,92≈ 8,4 мтолько лёгкие аппараты с запасом конструкции

Проверка по 45°: cos 45° = 0,707, n = 1/0,707 = 1,41; R = 15²/(9,80665·tan 45°) = 225/9,80665 ≈ 22,9 м. Угловая скорость ω = g·tan φ/V = 9,80665/15 = 0,654 рад/с ≈ 37,5°/с — полный круг за 9,6 с.

↑ К оглавлению

4. Что происходит с аппаратом в перегрузке

Скорость срыва растёт как √n

Крылу приходится создавать подъёмную силу n·W, а значит, рабочий коэффициент подъёма тоже n раз больше. При той же площади S и том же C_y max минимальная скорость, при которой крыло «держит», вырастает:

\[ V_{ср}(n) = V_{ср}(1)\,\sqrt{n} \]

Аппарат с V_ср = 11,55 м/с в горизонтальном полёте (статья 29) в вираже 60° срывается уже на 11,55·√2 ≈ 16,3 м/с. Это главная «ловушка» манёвра: вы ускорялись и набирали крен, а запас скорости до срыва уменьшается (статья 31 — срыв и безопасность).

Мощность

Подъёмная сила n раз больше — индуктивное сопротивление (статья 22) растёт как n² (C_x инд = K·C_y², а C_y ∝ n). Сила тяги, а значит и мощность, идут вверх. Порядок эффекта — 15–25 % мощности уже при 45° (задача 3 ниже).

Конструкция

Рама, узлы крепления моторов и крыла видят нагрузку n·W: при 2 g «весит» в два раза. Карбоновая рама (CFRP — композит с карбоновым волокном) на 2–3 g держится с запасом; пластиковая (PLA — полилактид) — на пределе уже при манёвренной перегрузке 2,5–3 g. Перед агрессивными манёврами смотрите на материал рамы и точки крепления — они, а не винт, разрушаются первыми.

Мультиротор в крутом вираже: винты уравновешивают вес аппарата вектором тяги, и при крене горизонтальная составляющая тяги гнёт траекторию. Формально те же формулы, но у мультиротора n ограничен не крылом, а тем, что при крене суммарная тяга должна вырасти в n = 1/cos φ раз: при 45° это 1,41× от тяги висения, и запас тяги N−1 (статья 26) быстро тает.
↑ К оглавлению

5. Спираль

Спиральное пикирование (spiral dive, рисунок — Wikipedia) — вираж с набором скорости и потерей высоты. Опасность в том, что скорость нарастает незаметно: на каждом витке центробежная сила растёт как V², и перегрузка при выходе из спирали (рывок штурвала) может в несколько раз превысить расчётную. Классическая схема: n_выхода ≈ n_виража·(V_выхода/V_входа)² при том же радиусе — скорость удвоилась, перегрузка — в 4 раза.

Для мультиротора «спираль» — штатный режим: схождение с высоты по витку при крене 30–45°. Перегрузки там близки к n виража (1,15–1,4), скорость ограничена не срывом, а боковым сопротивлением и запасом тяги на удержание крена. Это стандартный способ спуститься за 10–30 секунд без резкого снижения.

↑ К оглавлению

6. Петля

Вертикальная петля — манёвр акробатики (рисунок — Wikipedia) / Аэробатика: в нижней точке перегрузка максимальна (крыло держит вес плюс центробежную), в верхней — минимальна. Если скорость в нижней точке V_вх, радиус R, то по закону сохранения энергии (потеря высоты 2R переходит в скорость) и из уравнений движения:

\[ V_{верх}^2 = V_{вх}^2 - 4gR, \qquad n_{низ} = 1 + \frac{V_{вх}^2}{gR}, \qquad n_{верх} = \frac{V_{вх}^2}{gR} - 5 \]

Для крылового аппарата верхняя точка «прошла» при n_верх от 0 до +1 (при n_верх = 0 аппарат на вершине висит в свободном падении). Для мультиротора схема другая: винты всегда тянут «на себя» в системе координат аппарата, и в верхней точке (аппарат перевёрнут) тяга направлена в сторону центра петли — она добавляется к весу. Минимальная верхняя точка: тяга стремится к нулю, аппарат в свободном падении, n_верх = 0, и

\[ V_{верх,min} = \sqrt{gR} \]

Энергетический баланс даёт нижнюю точку: V_вх² = V_верх² + 4gR = 5gR:

\[ V_{вх} = \sqrt{5gR}, \qquad n_{низ} = 1 + \frac{V_{вх}^2}{gR} = 6 \]

Итог: минимальная «чистая» петля мультиротора — это 6 g в нижней точке. Реальные малые мультироторы петлю не делают (6 g — за пределом большинства рам и моторов), выполняют её «поленистую» (с паузой и разгоном тягой на вершине) или ограничиваются полукругом (180°).

↑ К оглавлению

7. Ограничения: перегрузка и мощность

ОграничениеТипичный предел (малые БПЛА)Что «ломается» / что теряется первым
Конструкция (CFRP рама)3–6 g манёврузлы крепления моторов, крыла
Конструкция (PLA/GFRP — полилактид/стеклопластик)2–3 g манёврпластиковая рама, крепёж
Запас тяги (мультиротор)n до 1,4–2 при крене 45–60°запас тяги N−1 (статья 26) падает
Мощность (крыло)+15–25 % на вираже 45°батарея садится быстрее, RTH под вопросом
Скорость срываV_ср(n) = V_ср·√nзапас скорости до срыва (статья 31)

Правило миссии: манёвр считается доступным, если при его перегрузке (а) запас конструкции не меньше 1,5–2, (б) запас тяги не меньше 1,2, (в) скорость не ниже 1,1–1,2·V_ср(n), (г) до RTH (возврат на базу, return to home) остаётся батарея не менее 25 %.

↑ К оглавлению

8. Практика: типовые задачи (с решениями)

Задача 1. Вираж 45°

Задача. Крыловой БПЛА летит V = 15 м/с и набирает крен 45°. Найти перегрузку, радиус и угловую скорость виража.

Заданные параметры:

Скорость V15 м/с
Крен φ45°
g9,80665 м/с²

Искомые параметры: n (g), R (м), ω (рад/с, °/с).

Решение.

  1. Перегрузка: \(n = 1/\cos 45° = 1/0{,}707 = 1{,}41\ \text{g} \).
  2. Радиус: \(R = V^2/(g\tan\varphi) = 225/(9{,}80665 \cdot 1) \approx 22{,}9\ \text{м} \).
  3. Угловая скорость: \(\omega = g\tan\varphi/V = 9{,}80665/15 = 0{,}654\ \text{рад/с} \approx 37{,}5°/\text{с} \) (полный круг 360/37,5 ≈ 9,6 с).
Ответ: n ≈ 1,41 g, R ≈ 22,9 м, ω ≈ 37,5°/с (виток за 9,6 с). Вывод: крен 45° — уже заметная перегрузка и сокращение радиуса в 1,41 раза: манёвры планируются с учётом запасов (раздел 6 — ограничения).

Задача 2. Срыв в крутом вираже

Задача. Аппарат с Vср(1) = 11,55 м/с (статья 29, задача 1). Найти скорость срыва в вираже 60° и ответить: при V = 14 м/с в крене 60° аппарат срывается или нет.

Заданные параметры:

Vср в горизонтальном полёте11,55 м/с
Крен φ60°
Фактическая скорость V14 м/с

Искомые параметры: Vср(n) (м/с), режим полёта при 14 м/с.

Решение.

  1. Перегрузка: \(n(60°) = 1/\cos 60° = 2{,}0 \).
  2. Скорость срыва в вираже: \(V_{ср}(2) = 11{,}55 \cdot \sqrt{2} \approx 16{,}3\ \text{м/с} \).
  3. Сравнение: 14 м/с ниже 16,3 м/с — запас до срыва отрицательный, крыло в срыве.
Ответ: Vср(60°) ≈ 16,3 м/с; при 14 м/с в крене 60° — срыв. Вывод: «крутой вираж на низкой скорости» — стандартный вход в сваливание (статья 31): запас скорости до срыва в вираже в √n раз меньше.

Задача 3. Мощность в вираже

Задача. Опорный крыловой БПЛА (статья 28): m = 0,5 кг, S = 0,12 м², Cx0 = 0,02, K = 0,053, V = 15 м/с. Сравнить мощность в горизонтальном полёте и в вираже 45°.

Заданные параметры:

Масса m0,5 кг
Площадь S0,12 м²
Cx0, K0,02; 0,053 (безразмерные)
Скорость V15 м/с
Крен в вираже φ45°

Искомые параметры: P (Вт) в горизонтальном полёте и в вираже; прирост в процентах.

Решение.

  1. Горизонтальный полёт: \(C_y = 2W/(\rho V^2 S) = 9{,}8066/(1{,}225 \cdot 225 \cdot 0{,}12) = 0{,}2965 \); \(C_x = 0{,}02 + 0{,}053 \cdot 0{,}2965^2 = 0{,}02466 \); \(X = qSC_x = 137{,}8 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}02466 = 0{,}407\ \text{Н} \); \(P = XV = 6{,}11\ \text{Вт} \).
  2. Вираж 45° (n = 1,41): \(C_y = 0{,}2965 \cdot 1{,}41 = 0{,}419 \); \(C_x = 0{,}02 + 0{,}053 \cdot 0{,}419^2 = 0{,}0293 \); \(X = 137{,}8 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}0293 = 0{,}484\ \text{Н} \); \(P = 0{,}484 \cdot 15 = 7{,}26\ \text{Вт} \).
  3. Прирост: \((7{,}26 - 6{,}11)/6{,}11 \approx 19\ \% \).
Ответ: 6,11 Вт → 7,26 Вт, прирост +19 % за один вираж 45°. Вывод: если миссия — круги над целью, батарея садится на ~20 % быстрее, чем «прямо и ровно»: манёвренная часть миссии оценивается отдельно.

Задача 4. Петля мультиротора

Задача. Мультиротор пытается «чистую» петлю радиуса R = 20 м (минимальная верхняя точка, nверх = 0). Найти скорости в верхней и нижней точках и перегрузку внизу.

Заданные параметры:

Радиус петли R20 м
Перегрузка в верхней точке nверх0 (безразмерное)
g9,80665 м/с²

Искомые параметры: Vверх, Vвх (м/с), nниз (g).

Решение.

  1. Минимальная скорость в верхней точке (тяга устремляется к нулю, аппарат в свободном падении): \(V_{верх} = \sqrt{gR} = \sqrt{9{,}80665 \cdot 20} = \sqrt{196{,}1} = 14{,}0\ \text{м/с} \).
  2. По энергетическому балансу (потеря высоты 2R): \(V_{вх}^2 = V_{верх}^2 + 4gR = 5gR \Rightarrow V_{вх} = \sqrt{980{,}7} = 31{,}3\ \text{м/с} \).
  3. Перегрузка в нижней точке: \(n_{низ} = 1 + V_{вх}^2/(gR) = 1 + 5 = 6\ \text{g} \).
  4. Для справки: 31,3 м/с — это 113 км/ч на входе, что выше паспортных скоростей большинства малых мультироторов.
Ответ: Vверх = 14,0 м/с, Vвх = 31,3 м/с, nниз = 6 g. Вывод: «чистая» петля мультиротору недоступна ни по скорости, ни по конструкции (6 g — за пределами большинства рам и моторов): выполняют «поленистую» петлю или полукруг.

Задача 5. Вираж 60°

Задача. Аппарат летит V = 20 м/с с креном 60°. Найти перегрузку, радиус и угловую скорость.

Заданные параметры:

Скорость V20 м/с
Крен φ60°
g9,80665 м/с²

Искомые параметры: n (g), R (м), ω (рад/с, °/с).

Решение.

  1. Перегрузка: \(n = 1/\cos 60° = 2{,}0\ \text{g} \).
  2. Радиус: \(R = V^2/(g\tan\varphi) = 400/(9{,}80665 \cdot 1{,}732) = 400/16{,}99 \approx 23{,}5\ \text{м} \).
  3. Угловая скорость: \(\omega = g\tan\varphi/V = 9{,}80665 \cdot 1{,}732/20 = 0{,}849\ \text{рад/с} \approx 48{,}7°/\text{с} \) (полный круг за 7,4 с).
Ответ: n = 2 g, R ≈ 23,5 м, ω ≈ 48,7°/с. Вывод: при V = 20 м/с радиус 60°-виража (23,5 м) почти совпал с радиусом 45°-виража при 15 м/с (22,9 м) — скорость и крен в формуле радиуса «меняются местами»: крутить можно и быстрее, и острее.
↑ К оглавлению

9. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓НавыкПроверка
n = 1/cos φсчитаю перегрузку по крену за секунду
Радиус/ωсчитаю R = V²/(g·tan φ) и ω = g·tan φ/V
V_ср(n)знаю, что срыв в вираже наступает раньше
Мощностьоцениваю прирост +15–25 % на вираже 45°
Спиральпонимаю, как в спирали незаметно нарастает скорость
Петля мультироторасчитаю V_вх = √(5gR) и n_низ = 6
Ограниченияпроверяю 4 критерия доступности манёвра
↑ К оглавлению

10. Источники

  1. Wikipedia, «Load factor (aeronautics)» — определение n = Y/W, связь с креном виража (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Load_factor_(aeronautics)
  2. Wikipedia, «Spiral dive» — спиральное пикирование, набор скорости (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Spiral_dive
  3. Wikipedia, «Aerobatics» — петля и вертикальные манёвры (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Aerobatics / ru.wikipedia.org/wiki/Аэробатика (Аэробатика)
  4. Wikipedia, «Stall (flight)» — срыв, зависимость V_ср от нагрузки (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Stall_(flight) / ru.wikipedia.org/wiki/Сваливание (Сваливание)
  5. Статьи цикла 22, 26, 28, 29 (сопротивление, тяга, мощности, скорости) — база формул.

Опорные аппараты — продолжение статей 28; численные примеры рассчитаны автором (g = 9,80665 м/с², ρ = 1,225 кг/м³). Проверено: 03.09.2026.

↑ К оглавлению
  • мод. : Воскресенье, 06 сентября 2026