32. Устойчивость и управляемость: центр масс, статический запас, демпфирование #

Почему один аппарат сам выравнивается после порыва, а второй колеблется по тангажу и заходит в спираль? Всё упирается в три вещи: положение центра масс (ЦМ, центр масс), статический запас устойчивости и демпфирование. Считаем запас в долях хорды, подбираем балансировку и разбираем, что делает контроллер мультиротора на месте «естественной» устойчивости.

Содержание

1. Цели статьи
- Что вы сможете после прочтения
2. Величины и единицы измерения (глоссарий)
- Символ, величина, единица
3. Центр масс и статический запас
- Нейтральная точка, норма 5–15 % хорды
4. Балансировка: хвост и «работа» центровки
- Отрицательный подъём хвостового оперения
- Трим центровкой vs трим рулём
5. Демпфирование: тангаж, крен, рысканье
- Что гасит колебания и флюгерная устойчивость
- Мультиротор: FC + IMU вместо оперения
6. Полевые регулировки и первый полёт
- Проверка ЦМ, порядок первого полёта
7. Полезная нагрузка и ЦМ
- Гиростабилизатор, сброс, батарея
8. Практика: типовые задачи (с решениями)
9. Резюме
- Чек-лист самопроверки
10. Источники
- Референсы

1. Цели статьи

Считать статический запас устойчивости (рисунок — Wikipedia) в долях хорды и держать его в норме 5–15 %.
Понимать, как центр масс (рисунок — Wikipedia) / Центр масс влияет на момент, трим и поведение в манёвре.
Различать демпфирование по трём осям и знать, чем мультиротор «устойчивый» на самом деле (контроллер, а не аэродинамика).
Подбирать балансировку под полезную нагрузку и проверять ЦМ до первого полёта.

Что особенно важно запомнить:

«Устойчив» — не «манёвренный»: устойчивость — возвращение к равновесному режиму после возмущения (порыв, толчок), манёвренность — скорость, с которой вы сами уводите аппарат от равновесия; обе характеристики зависят от одной цифры — статического запаса SM (задача 1).
Норма для свободнолетающих БПЛА: SM = 5–15 % хорды. ЦМ слишком впереди — вялый тангаж и лишнее сопротивление; слишком сзади (менее 5 %) — колебания по тангажу и риск ухода в спираль (статья 31).
Мультиротор «естественно» неустойчив: его держит контроллер, работающий 100–500 раз в секунду (IMU + FC), а не аэродинамика; ЦМ держать на оси — смещение 7,5 мм создаёт постоянную асимметрию тяги (задача 3).

↑ К оглавлению

2. Величины и единицы измерения (глоссарий)

Все величины, встречающиеся в статье и задачах, — в одной таблице. Безразмерные величины (коэффициенты, доли хорды) единиц не имеют, для них в колонке «Единица» — прочерк или «% хорды».

Символ	Величина	Единица	Типичное значение в задачах
c	хорда крыла	м	0,24
x_ЦМ	положение центра масс (доля хорды)	% хорды	25–40
x_NP	положение нейтральной точки (доля хорды)	% хорды	45
SM	статический запас (x_NP − x_ЦМ)/c	% хорды	5–15
Δα	отклонение угла атаки	градусы (°)	возмущение
C_m0	моментный коэффициент крыла (безразмерное)	—	0,04
q	динамическое давление	Па	88,2
S	площадь крыла	м²	0,12
M	момент	Н·м	0,074–0,102
l	плечо хвоста	м	0,15
L_хв	нагрузка хвоста	Н	0,68
W	сила тяжести (вес)	Н	4,9–9,8
V	скорость полёта	м/с	12
m	масса аппарата	кг	0,5–1
m_к	масса камеры (смещённой нагрузки)	кг	0,15
d	смещение от оси симметрии	мм	50
h	расстояние от плоскости винтов до ЦМ	мм	50
φ	остаточный угол крена (наклон линии тяги)	градусы (°)	8,5

↑ К оглавлению

3. Центр масс и статический запас

Три опорные точки по хорде крыла (спереди назад): (1) передняя кромка — 0 % хорды; (2) аэродинамическая точка (аэродинамический центр, AC, рисунок — Wikipedia) — точка, в которой аэродинамический момент крыла не зависит от угла атаки; у обычных профилей ~25 % хорды (статья 19); (3) нейтральная точка (NP, нейтральная точка устойчивости) — положение ЦМ, при котором запас устойчивости равен нулю; сзади аэродинамической точки (хвост «подталкивает» NP назад).

Статический запас — расстояние между ЦМ и нейтральной точкой, выраженное в долях хорды:

\[ SM = \frac{x_{NP} - x_{ЦМ}}{c} \]

Норма для свободнолетающих БПЛА: 5–15 % хорды. Физический смысл: при отклонении угла атаки на Δα восстанавливающий момент пропорционален Δα·SM — запас есть, момент «возвращает»; запас нулевой — момент нулевой, аппарат «нейтрален»; запас отрицательный (ЦМ сзади NP) — момент «докручивает», аппарат неустойчив по тангажу.

Положение ЦМ	Поведение	Что страдает
Слишком вперёд (SM выше 20 %)	вялый отклик по тангажу, стремится опустить нос	сопротивление ↑, расход ↑, манёвренность ↓
В норме (5–15 %)	возвращается после порыва, управляем	—
Слишком сзади (SM ниже 5 %)	продолжительные колебания по тангажу, заход в спираль	запас до срыва ↓ (статья 31), риск ухода в сваливание
Сзади NP (SM ниже 0)	неустойчив: порыв «докручивает» тангаж	полёт возможен только с автопилотом

Типовой расчёт: хорда c = 0,24 м, ЦМ на 30 % хорды, NP на 45 % хорды → SM = (45 − 30) % = 15 % = 3,6 см (задача 1). Для крыла 0,5 кг это «комфортная» центровка: есть запас и на сдвиг от полезной нагрузки (§6).

↑ К оглавлению

4. Балансировка: хвост и «работа» центровки

Крыло с положительной кривизной (статья 19) создаёт момент «нос вверх» (C_m0 > 0). Чтобы аппарат летел горизонтально, хвостовое оперение (хвост, рисунок — Wikipedia) / Горизонтальное оперение (горизонтальное оперение, рисунок — Wikipedia) создаёт встречный момент. У большинства малых крыльев хвост работает «на отрицательный подъём» — давит хвост вниз, балансируя момент крыла; то есть хвост фактически создаёт нагрузку 5–15 % веса аппарата (задача 2). Это цена устойчивости: часть тяги расходуется на балансировку.

Два способа довести трим (устойчивое горизонтальное положение) до нормы:

Трим центровкой — передвинуть ЦМ (батарея, гиростабилизатор, грузики). Работает всегда, не требует механизмов. Основной способ у БПЛА.
Трим рулём — постоянный доворот руля высоты (механический упор или «нулевая точка» в контроллере). Удобно для подгонки в полёте, но руль в довороте — это постоянное дополнительное сопротивление.

Правило: грубую центровку — грузами (на земле), тонкую — трим-регулятором в контроллере (в воздухе). Если «тонкая» подгонка больше 10–15 % хода руля — центровка ушла, грузы снова.

↑ К оглавлению

5. Демпфирование: тангаж, крен, рысканье

Устойчивость отвечает «вернётся ли», демпфирование — «за сколько циклов». Три оси:

Ось	Что даёт устойчивость	Что даёт демпфирование	Если слабо
Тангаж (нос)	статический запас (ЦМ впереди NP)	хвост + сопротивление качке + инерция	продолжительные колебания по тангажу (короткий период)
Крен (крылья)	стреловидность + V-образное расположение крыльев (статья 21) + крутка	боковое сопротивление крыла и фюзеляжа	крен «растёт сам» (спираль, статья 31)
Рысканье (хвост)	вертикальное оперение («флюгер»)	площадь киля, расстояние до ЦМ	разворачивает аппарат в боковом ветре, устойчивость к рысканию ниже

Отдельно — флюгерная устойчивость: аппарат, как флюгер, разворачивается носом по ветру. У крылового БПЛА она «мягкая» (малые аппараты плохо «ловят» ветер) — поэтому боковой ветер на взлёте и посадке опасен (статья 31, задача 3).

Мультиротор — «естественно» неустойчив. Рама на четырёх винтах не имеет ни крыла, ни хвоста, ни V-образного оперения: при толчке начнёт переворачиваться (статья 31). Устойчивость даёт ИСУ (инерциальный блок, IMU — inertial measurement unit, рисунок — Wikipedia) / Гиростабилизатор — гироскопы + акселерометры, и контроллер полёта (FC, flight controller, рисунок — Wikipedia) / Мультикоптер, который по 100–500 раз в секунду сравнивает «как должен лететь» с «как летит» и докручивает обороты винтов (ПИД-регулятор: пропорционально-интегрально-дифференциальный). «Устойчивость» мультиротора — это частота и точность этой петли, а не аэродинамика; поэтому его нельзя «выровнять грузами» — можно только сделать ЦМ симметричным (задача 3), чтобы контур управления имел устойчивую опорную точку.

↑ К оглавлению

6. Полевые регулировки и первый полёт

Проверка ЦМ на земле (2 минуты)

Два пальца (или две точки опоры) под крылом: аппарат должен удерживать горизонтальное положение с небольшим наклоном носа вниз (ЦМ слегка впереди точки опоры — на пальцах это выглядит как балансировка с носом, опущенным на 5–10°). Для мультиротора — симметрия: вес на четыре точки рамы одинаков, камера/батарея по центральной линии.

Порядок первого (испытательного) полёта

Минимальная высота 5–10 м, минимум 2–3 размаха от людей.
Прямо и ровно: 30–60 с на крейсерской — удерживает ли аппарат режим без вмешательств.
Крены по 15–20° в обе стороны: возвращается ли.
Тангаж: 10° вниз/вверх: возвращается ли к исходному режиму, нет ли колебаний по тангажу.
Вираж 30°: не уходит ли в спираль.
Каждое отклонение — 10–15 с пауза: даёт ли вернуться.

Колебания по тангажу на первом полёте — сразу садиться и двигать ЦМ вперёд (5–10 % хорды), а не «поджимать тримом»: трим скроет симптом, но не уберёт риск ухода в сваливание (статья 31).

↑ К оглавлению

7. Полезная нагрузка и ЦМ

Полезная нагрузка — главный «перемещатель» ЦМ в эксплуатации. Три типовых источника:

Гиростабилизатор камеры — 200–500 г на носу: ЦМ уходит вперёд (симптом — вялый отклик по тангажу, §2). Компенсация — батарея назад.
Сбрасываемая нагрузка (доставка, «упаковочный» полёт): ЦМ изменяется в полёте — после сброса запас устойчивости аппарата растёт. Центровку считать на «самый тяжёлый» момент (старт) и проверить, что после сброса SM не уйдёт выше 20 %.
Батарея — самый тяжёлый «один» элемент (30–50 % массы): её крепёж — главный трим-орган.

Практическое правило: крепление батареи — «на два положения» (вперёд/назад на 1–2 см) с фиксаторами, чтобы подгонку сделать в поле за 30 секунд. Задача 4 — расчёт ЦМ с полезной нагрузкой «по полёту».

↑ К оглавлению

8. Практика: типовые задачи (с решениями)

Задача 1. Статический запас

Задача. Крыло c = 0,24 м, ЦМ на 30 % хорды, NP на 45 % хорды. Найти статический запас в долях хорды и в сантиметрах. На сколько можно сдвинуть ЦМ назад, сохранив запас не ниже 5 %?

Заданные параметры:

Хорда c	0,24 м
ЦМ (x_ЦМ)	30 % хорды
NP (x_NP)	45 % хорды

Искомые параметры: SM (% хорды, см), допустимый сдвиг ЦМ (см).

Решение.

Статический запас: \(SM = (45 - 30)\,\% = 15\,\% \) хорды; в сантиметрах \(0{,}15 \cdot 0{,}24 = 3{,}6\ \text{см} \).
Предельное положение ЦМ (запас 5 %): \(x_{ЦМ,max} = 45\,\% - 5\,\% = 40\,\% \) хорды = 0,40·0,24 = 9,6 см.
Текущий ЦМ: 30 % = 7,2 см. Допустимый сдвиг: \(9{,}6 - 7{,}2 = 2{,}4\ \text{см} \) назад.

Ответ: SM = 15 % (3,6 см); ЦМ можно сдвинуть на 2,4 см назад (до 40 % хорды), дальше запас уйдёт ниже 5 %. Вывод: статический запас измеряют в долях хорды — это нормируемая величина, а не сантиметры.

Задача 2. Нагрузка на хвост

Задача. Крыло m = 0,5 кг, S = 0,12 м², c = 0,24 м, момент крыла C_m0 = 0,04 («нос вверх»), плечо хвоста l = 0,15 м, V = 12 м/с. Найти силу, которую создаёт хвост, и её долю от веса.

Заданные параметры:

Масса m	0,5 кг
Площадь S	0,12 м²
Хорда c	0,24 м
C_m0	0,04 (безразмерное)
Плечо хвоста l	0,15 м
Скорость V	12 м/с
ρ	1,225 кг/м³

Искомые параметры: L_хв (Н), доля от веса (%).

Решение.

Динамическое давление: \(q = 0{,}5\,\rho V^2 = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 144 = 88{,}2\ \text{Па} \).
Момент крыла: \(M = C_{m0}\,qSC = 0{,}04 \cdot 88{,}2 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}24 = 0{,}102\ \text{Н·м} \).
Хвост балансирует момент: \(L_{хв} = M/l = 0{,}102/0{,}15 = 0{,}68\ \text{Н} \).
Вес: \(W = 0{,}5 \cdot 9{,}80665 = 4{,}90\ \text{Н} \). Доля: \(0{,}68/4{,}90 = 14\ \% \).

Ответ: хвост создаёт силу 0,68 Н — 14 % веса аппарата. Вывод: это «цена устойчивости»: крылу приходится создавать на 14 % больше подъёмной силы, чем вес (W + 0,68 Н), и часть тяги уходит на балансировку.

Задача 3. Сдвиг ЦМ мультиротора

Задача. Мультиротор m = 1 кг, камера m_к = 150 г смещена от оси симметрии на d = 50 мм, ЦМ — на h = 50 мм ниже плоскости винтов. Найти: (1) смещение ЦМ сборки от оси; (2) момент смещения; (3) «остаточный наклон» — угол, при котором линия тяги проходит через ЦМ (без активного удержания FC).

Заданные параметры:

Масса m	1 кг
Масса камеры m_к	0,15 кг
Смещение камеры d	50 мм = 0,05 м
Высота ЦМ под винтами h	50 мм = 0,05 м
g	9,80665 м/с²

Искомые параметры: x_ЦМ (мм), M (Н·м), φ (°).

Решение.

Смещение ЦМ сборки: \(x_{ЦМ} = m_{к}\,d/m = 0{,}15 \cdot 0{,}05/1{,}0 = 0{,}0075\ \text{м} = 7{,}5\ \text{мм} \).
Момент смещения относительно линии тяги: \(M = m_{к}\,g\,d = 0{,}15 \cdot 9{,}80665 \cdot 0{,}05 = 0{,}074\ \text{Н·м} \).
Остаточный наклон (линия тяги через ЦМ): \(\tan\varphi = x_{ЦМ}/h = 7{,}5/50 = 0{,}15 \Rightarrow \varphi \approx 8{,}5° \).

Ответ: x_ЦМ = 7,5 мм, M = 0,074 Н·м, φ ≈ 8,5°. Вывод: без активного удержания рама наклонилась бы на 8,5° — заметный угол. FC держит горизонт, но постоянно противостоит моменту 0,074 Н·м: это постоянная асимметрия тяги — износ и нагрев одной стороны. ЦМ мультиротора держать на оси (статья 27).

Задача 4. ЦМ с полезной нагрузкой

Задача. Аппарат «сухой» m₁ = 0,5 кг, ЦМ на 25 % хорды; полезная нагрузка m₂ = 0,5 кг закреплена на 50 % хорды. Найти ЦМ сборки и статический запас при NP = 45 % хорды.

Заданные параметры:

«Сухой» аппарат m₁, x₁	0,5 кг; 25 % хорды
Полезная нагрузка m₂, x₂	0,5 кг; 50 % хорды
NP	45 % хорды

Искомые параметры: x_ЦМ (% хорды), SM (% хорды).

Решение.

ЦМ сборки: \(x_{ЦМ} = (m_1 x_1 + m_2 x_2)/(m_1 + m_2) = (0{,}5 \cdot 25 + 0{,}5 \cdot 50)/1{,}0 = 37{,}5\ \% \) хорды.
Статический запас: \(SM = 45 - 37{,}5 = 7{,}5\ \% \) хорды.
Если полезная нагрузка вырастет до 0,8 кг (тот же крепёж): \(x_{ЦМ} = (0{,}5 \cdot 25 + 0{,}8 \cdot 50)/1{,}3 = 52{,}5/1{,}3 = 40{,}4\ \% \) хорды; \(SM = 45 - 40{,}4 = 4{,}6\ \% \) — ниже нормы.

Ответ: ЦМ — 37,5 % хорды, SM = 7,5 % — в норме (5–15 %), ближе к нижней границе. Вывод: при нагрузке 0,8 кг SM = 4,6 % — уже «на пределе»: первый полёт с такой нагрузкой — только с запасом высоты.

↑ К оглавлению

9. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓	Навык	Проверка
	SM	считаю (x_NP − x_ЦМ)/c и держу 5–15 %
	Симптомы ЦМ	вялый тангаж — ЦМ вперёд, колебания — назад
	Хвост	знаю, что хвост создаёт нагрузку 5–15 % веса
	Трим	грубо — грузами, тонко — регулятором
	Демпфирование	называю «генераторы» по трём осям
	Мультиротор	понимаю: устойчивость = FC + IMU, не аэродинамика
	Полезная нагрузка	пересчитаю ЦМ «по полёту» за минуту
	Первый полёт	знаю порядок: ровно → крены → тангаж → вираж

↑ К оглавлению

10. Источники

Wikipedia, «Static stability» — статическая устойчивость, нейтральная точка (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Longitudinal_stability
Wikipedia, «Center of mass» — центр масс, расчёт для систем (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Center_of_mass / ru.wikipedia.org/wiki/Центр_масс (Центр масс)
Wikipedia, «Aerodynamic center» — аэродинамическая точка, момент (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Aerodynamic_center
Wikipedia, «Tailplane» — хвостовое оперение (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Tailplane / ru.wikipedia.org/wiki/Горизонтальное_оперение (Горизонтальное оперение)
Wikipedia, «Horizontal stabilizer» — горизонтальное оперение (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Horizontal_stabilizer
Wikipedia, «Inertial measurement unit» — ИСУ: гироскопы + акселерометры (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Inertial_measurement_unit / ru.wikipedia.org/wiki/Гиростабилизатор (Гиростабилизатор)
Wikipedia, «Multirotor» — мультироторы, роль контроллера (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Multirotor / ru.wikipedia.org/wiki/Мультикоптер (Мультикоптер)
Статьи цикла 19 (профиль, момент), 21 (стреловидность, V-расположение), 27 (мультироторы, failsafe), 31 (срыв, спираль) — база.

Опорные аппараты — продолжение статей 28; численные примеры рассчитаны автором (g = 9,80665 м/с², ρ = 1,225 кг/м³). Проверено: 03.09.2026.

↑ К оглавлению

мод. : Воскресенье, 06 сентября 2026