11. Теплопередача: нагрев моторов, ESC и АКБ

Задача. ESC пропускает пиковый ток. Нужно найти, какая часть электрической мощности превращается в тепло на одном MOSFET (силовом транзисторе). Эта цифра определяет, правильно ли подобран радиатор.

Заданные параметры:

Искомые параметры:

• мощность потерь на транзисторе, P (Вт).

Решение.

1. Ток, проходящий через сопротивление, превращает электрическую мощность в тепло (закон Джоуля–Ленца): \( P = I^2 \cdot R \).
2. Подставляем значения: \( P = 40^2 \cdot 0{,}002 = 1600 \cdot 0{,}002 = 3{,}2 \) Вт.

Задача. ESC рассеивает 10 Вт тепла. Радиатор охлаждается только естественной конвекцией — без вентилятора и обтекания (стенд, штиль). Нужно найти установившуюся температуру радиатора: ту, при которой он перестаёт нагреваться (выделяется тепла ровно столько, сколько уносится воздухом).

Заданные параметры:

Искомые параметры:

• перегрев радиатора выше воздуха, ΔT (К);
• установившаяся температура радиатора, t (°C).

Решение.

1. В установившемся режиме всё тепло, выделяемое ESC, уносится от радиатора конвекцией (закон Ньютона–Рихмана): \( P = \alpha \cdot S \cdot \Delta T \).
2. Выражаем перегрев: \( \Delta T = P/(\alpha \cdot S) = 10/(8 \cdot 0{,}01) = 10/0{,}08 = 125 \) К.
3. Установившаяся температура: t = t_возд + ΔT = 20 + 125 = 145 °C.

Задача. Мотор теряет 50 Вт тепла в обмотках. В полёте при скорости обтекания 20 м/с корпус охлаждается сразу двумя механизмами: потоком воздуха (конвекция) и тепловым излучением. Нужно найти установившуюся температуру корпуса. Пример, где работают оба механизма вместе: уравнение нелинейное (содержит T⁴) и решается численно.

Заданные параметры:

Искомые параметры:

• перегрев корпуса выше воздуха, ΔT (К);
• температура корпуса, t (°C).

Решение.

1. Записываем баланс: мощность потерь равна сумме того, что уносит конвекция, и того, что уносит излучение: \( P = \alpha S \Delta T + \varepsilon \sigma S (T^4 - T_0^4) \), где T = T₀ + ΔT.
2. Уравнение нелинейное (степень T⁴) — решаем подбором (численная итерация).
3. Пробуем ΔT = 120 К: конвекция 70·0,005·120 = 42,0 Вт; T = 298 + 120 = 418 К; излучение ≈ 3,9 Вт; итого 45,9 Вт — меньше 50 Вт: мотору ещё хватает мощности, чтобы греться дальше.
4. Пробуем ΔT = 130 К: конвекция 70·0,005·130 = 45,5 Вт; T = 428 К; излучение ≈ 4,4 Вт; итого 49,9 Вт ≈ 50 Вт — баланс достигнут.
5. Переводим в шкалу Цельсия: t = 25 + 130 ≈ 155 °C.

Задача. Радиатор из Задачи 2 (10 Вт, 100 см²) в неподвижном воздухе нагрелся до 145 °C. Требование: на стенде он не должен нагреваться выше 60 °C. Нужно найти минимальный коэффициент теплоотдачи, при котором температура укладывается в лимит, и понять, какой режим охлаждения это (вентилятор или штиль).

Заданные параметры:

Искомые параметры:

• минимальный коэффициент теплоотдачи, α_min (Вт/(м²·К)).

Решение.

1. Максимально допустимый перегрев: ΔT_max = t_max − t_возд = 60 − 20 = 40 К.
2. Из формулы Ньютона–Рихмана P = α·S·ΔT выражаем α: \( \alpha_{min} = P/(S \cdot \Delta T_{max}) = 10/(0{,}01 \cdot 40) = 10/0{,}4 = 25 \) Вт/(м²·К).
3. Сравниваем с таблицей раздела 5: 25 Вт/(м²·К) — это вынужденная конвекция при скорости потока примерно 5–8 м/с.

Задача. Тёмная матовая панель (например, верхняя крышка) стоит под прямым солнцем. Панель получает тепло от солнца (поглощает лучистый поток) и отдаёт его воздуху (конвекция) и излучением. Нужно найти установившуюся температуру панели: ту, при которой полученного тепла ровно столько же, сколько отдаётся.

Заданные параметры:

Искомые параметры:

• установившаяся температура панели, t (°C).

Решение.

1. Мощность, которую панель поглощает от солнца: \( P_{\text{погл}} = A \cdot q \cdot S = 0{,}8 \cdot 1000 \cdot 0{,}05 = 40 \) Вт. Это приток тепла.
2. Записываем баланс: \( 40 = \alpha S_{\text{отд}} (T - T_0) + \varepsilon \sigma S_{\text{отд}} (T^4 - T_0^4) \), T₀ = 298 К.
3. Пробуем T = 313 К (40 °C): конвекция 20·0,1·(313−298) = 30 Вт; излучение ≈ 8,7 Вт; итого 38,7 Вт — меньше 40 Вт: тепла прибывает, панель ещё греется.
4. Пробуем T = 315 К (42 °C): конвекция 34 Вт; излучение ≈ 10,0 Вт; итого 44 Вт — больше 40 Вт: панель отдаёт больше, чем получает (перегрев).
5. Баланс между этими точками: T ≈ 314 К, то есть t ≈ 41 °C (конвекция 32 Вт + излучение 9,4 Вт ≈ 40 Вт).