18. Сжимаемость, число Маха, критическая точка
При скорости «примерно 0,3 от скорости звука» воздух перестаёт вести себя как несжимаемый: в сжатых зонах его плотность растёт, в разреженных — падает, а при достижении локально 1,0 Маха появляются ударные волны и скачок сопротивления. Для большинства гражданских БПЛА (беспилотный летательный аппарат) сжимаемостью пренебрегают, но знать границы — обязательно.
Содержание
1. Цели статьи
- Понимать, что значит «сжимаемый поток» и когда им можно пренебречь.
- Считать число Маха и оценивать, где начнётся волновое сопротивление.
- Знать сжимаемые поправки к динамическому давлению и плотности.
- Число Маха Ma = V/c — отношение скорости потока к скорости звука (безразмерная величина): оно показывает, насколько важна сжимаемость. При Ma ниже 0,3 изменение плотности не превышает ~1–2 % — работают «несжимаемые» формулы Бернулли и непрерывности.
- При Ma ≈ 0,8 (критическая зона для большинства профилей) появляются локально сверхзвуковые области и скачок коэффициента сопротивления Cd — поэтому быстрые платформы проектируют под конкретный «Мах-бюджет», а не просто «на максимальную скорость».
- Скорость звука зависит от температуры: c ≈ 340 м/с при 15 °C и ≈ 295 м/с при −56,5 °C (верх тропосферы). При той же скорости полёта на высоте Ma выше — у ударных волн (рисунок — Wikipedia) / Ударная волна свой порог (Ma = 1).
2. Величины и единицы измерения (глоссарий)
Все величины, используемые в статье и задачах, с единицами измерения. Ссылочные значения: γ = 1,4 (воздух); R = 8,314 Дж/(моль·К); c(15 °C) ≈ 340 м/с; c(−56,5 °C) ≈ 295 м/с.
| Символ | Величина | Единица (СИ) | Типовые значения в статье |
|---|---|---|---|
| Ma | число Маха (безразмерная: V/c) | — | 0,26–0,31 (задачи) |
| V | скорость потока/полёта | м/с | 90 |
| c | скорость звука | м/с | 340 (15 °C); 295 (−56,5 °C) |
| T | абсолютная температура | К (кельвин) | 288 (15 °C) |
| γ | отношение теплоёмкостей (безразмерная) | 1,4 (воздух) | адиабатический показатель |
| R | универсальная газовая постоянная | Дж/(моль·К) | 8,314 |
| p | статическое давление | Па (паскаль) | 101 325 |
| p₀ | полное давление | Па | p · (1,128)³,⁵ при Ma = 0,8 |
| q | динамическое давление | Па | 45,3–53,1 кПа (Ma = 0,8) |
| ρ, ρ₀ | локальная/полная плотность | кг/м³ | 1,225 (уровень моря) |
| Maкр | критическое число Маха (безразмерная) | — | 0,7–0,85 (профили) |
| Cd | коэффициент сопротивления (безразмерная) | — | скачок в зоне Ma ≈ 0,8 |
3. Почему воздух «сжимаемый»
В несжимаемой модели плотность ρ = const. На самом деле газ сжимается в зонах повышенного давления и расширяется в разреженных. Степень сжимаемости характеризует число Маха: при малых Ma изменение ρ мало, при больших — существенно.
- В «шейке» у тела/крыла поток ускоряется → давление падает → ρ падает (разрежение).
- На носу/в «кармане» — сжатие → ρ растёт.
- Если локальная скорость где-то достигает Ma = 1 — появляется ударная волна и скачок плотности/давления.
4. Число Маха (рисунок — Wikipedia) / Число Маха и границы
\[ Ma = \frac{V}{c}, \qquad c = \sqrt{\gamma R T} \]| Ma | Режим | Что происходит |
|---|---|---|
| ниже 0,3 | «Несжимаемый» | ρ ≈ const; Бернулли/непрерывность в простой форме |
| 0,3–0,8 | Сжимаемый дозвуковой | ρ меняется; нужны поправки; Cd пока стабилен |
| ~0,8–0,9 | Критическая зона | локально Ma выше 1; скачок Cd (эффект «drag divergence») |
| выше 1 | Сверхзвуковой | ударные волны, конус Маха; другой режим аэродинамики |
Скорость звука зависит от температуры (статья 13): c(15 °C) ≈ 340 м/с, c(−56,5 °C) ≈ 295 м/с. «Один и тот же V» на холоде даёт больший Ma.
↑ К оглавлению5. Критическое число Маха и волновое сопротивление
Критическое число Маха Maкр — такое Ma бесконечности, при котором локально (у наиболее выпуклой точки профиля) впервые достигается Ma = 1. У типичных профилей Maкр ≈ 0,7–0,85 (зависит от толщины, кривизны, Re (числа Рейнольдса)).
- Чем толще профиль — тем ниже Maкр (сильнее локальный разгон у выпуклой части).
- После Maкр — локальные сверхзвуковые области + ударные волны → скачок Cd («drag divergence») и потери.
- Тонкие и суперкритические профили (спроектированные против волнового сопротивления) повышают Maкр.
6. Сжимаемые поправки: q, ρ, T
Для изоэнтропического потока связывают давление, плотность и Ma:
\[ \frac{p_0}{p} = \left(1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)}, \qquad \frac{\rho_0}{\rho} = \left(1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{1/(\gamma-1)} \]«Истинное» динамическое давление — разность полного и статического, которую фактически измеряет Пито (статья 17):
\[ q = p_0 - p = p\left[\left(1 + \frac{\gamma-1}{2}Ma^2\right)^{\gamma/(\gamma-1)} - 1\right] \]В несжимаемом пределе \(q = \tfrac{1}{2}\rho V^2 \). При Ma ниже 0,3, поправка меньше ~1–2 % — можно использовать q = ½ρV². При Ma 0,8 поправка уже ~15–17 % (несжимаемая оценка занижает).
↑ К оглавлению7. Что это значит для БПЛА
- Гражданские БПЛА (крейсер 10–40 м/с): Ma 0,03–0,12 — сжимаемостью пренебрегают полностью.
- Быстрые платформы (80–150 м/с): Ma 0,25–0,45 — поправки на q и ρ становятся рабочими; на 0,45 уже «на границе» для толстых профилей.
- Высокая высота + скорость: на высоте c ниже → при том же V Ma выше (статья 7); для высотных/быстрых БПЛА Ma-бюджет учитывают.
- Сверхзвук (Ma выше 1) — вне типовой области гражданских БПЛА; там свои законы (конус Маха, волновое сопротивление).
8. Практика: типовые задачи (с решениями)
Все задачи построены по единому шаблону: Задача — что происходит и что нужно найти (обычным языком); Заданные параметры — таблица всех известных величин с единицами измерения; Искомые параметры — что вычислить, с единицами; Решение — по шагам; Ответ и Вывод — результат и его практический смысл.
Задача 1. Число Маха по скорости
Задача. БПЛА летит со скоростью 90 м/с при температуре 15 °C (скорость звука c ≈ 340 м/с). Нужно найти число Маха и оценить, можно ли пренебречь сжимаемостью.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| скорость полёта, V | 90 м/с |
| скорость звука, c (15 °C) | 340 м/с |
Искомые параметры:
- число Маха, Ma (безразмерная).
Решение.
- \(Ma = V/c = 90/340 \approx 0{,}265 \).
- Оценка: Ma ниже 0,3 — в зоне «несжимаемого» приближения, но близко к порогу.
Задача 2. Число Маха на высоте
Задача. На высоте 11 км (ISA — международная стандартная атмосфера: −56,5 °C, c ≈ 295 м/с) БПЛА летит 90 м/с. Нужно найти Ma на высоте и сравнить с Ma у земли (15 °C) при той же скорости.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| скорость полёта, V | 90 м/с |
| скорость звука на 11 км, c | 295 м/с |
| скорость звука у земли, c₀ | 340 м/с |
Искомые параметры:
- Ma на высоте и у земли (безразмерные); относительное различие (%).
Решение.
- На 11 км: \(Ma = 90/295 \approx 0{,}305 \).
- У земли: \(Ma = 90/340 \approx 0{,}265 \).
- Различие: (0,305 − 0,265)/0,265 ≈ 15 %.
Задача 3. Критическая скорость (Maкр)
Задача. Профиль крыла имеет критическое число Маха Maкр ≈ 0,75. Нужно найти, до какой скорости полёта (при 15 °C, c = 340 м/с) можно лететь без локально сверхзвуковых областей — запас по «волновой» зоне.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| критическое число Маха, Maкр | 0,75 |
| скорость звука, c (15 °C) | 340 м/с |
Искомые параметры:
- максимальная скорость без локального Маха 1, V (м/с, км/ч).
Решение.
- \(V_{\max} = Ma_{\text{кр}} \cdot c = 0{,}75 \cdot 340 = 255\ \text{м/с} \).
- В км/ч: 255 · 3,6 = 918 км/ч.
Задача 4. Сжимаемое динамическое давление
Задача. Нужно найти «истинное» динамическое давление (p₀ − p) при Ma = 0,8 и p = 101 325 Па (γ = 1,4) и сравнить с несжимаемой оценкой q = ½ρV² при V = Ma·c (c = 340 м/с, ρ = 1,225 кг/м³) — величина ошибки «простой» формулы.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| число Маха, Ma | 0,8 |
| статическое давление, p | 101 325 Па |
| отношение теплоёмкостей, γ | 1,4 |
| скорость звука, c | 340 м/с |
| плотность, ρ | 1,225 кг/м³ |
Искомые параметры:
- сжимаемое q (Па, кПа);
- несжимаемая оценка q (Па, кПа);
- занижение несжимаемой оценки (%).
Решение.
- Сжимаемое (изоэнтропическое): \(p_0/p = (1 + \tfrac{\gamma-1}{2}Ma^2)^{ \gamma/(\gamma-1)} = (1 + 0{,}2 \cdot 0{,}64)^{3{,}5} = (1{,}128)^{3{,}5} \approx 1{,}5243 \).
- \(q = p (p_0/p - 1) = 101325 \cdot 0{,}5243 \approx 53\,130\ \text{Па} \approx 53{,}1\ \text{кПа} \).
- Несжимаемая: V = 0,8 · 340 = 272 м/с; \(q = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 272^2 \approx 45\,315\ \text{Па} \approx 45{,}3\ \text{кПа} \).
- Занижение: (53,1 − 45,3)/53,1 ≈ 15 %.
Задача 5. Разрежение плотности при Ma = 0,5
Задача. Нужно найти, на сколько процентов плотность воздуха в точке потока ниже плотности неподвижного воздуха при Ma = 0,5 (изоэнтропический процесс) — оценка влияния сжимаемости.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| число Маха, Ma | 0,5 |
| отношение теплоёмкостей, γ | 1,4 |
Искомые параметры:
- отношение ρ₀/ρ; изменение плотности (%).
Решение.
- Изоэнтропическое соотношение: \(\rho_0/\rho = (1 + \tfrac{\gamma-1}{2} Ma^2)^{1/(\gamma-1)} = (1 + 0{,}2 \cdot 0{,}25)^{2{,}5} = (1{,}05)^{2{,}5} \approx 1{,}130 \).
- \(\rho = \rho_0/1{,}130 \approx 0{,}885\,\rho_0 \).
- Разрежение: 1 − 0,885 ≈ 11,5 %.
9. Чек-лист самопроверки знаний
Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.
| ✓ | Навык | Проверка |
|---|---|---|
| Сжимаемость | объясню, что значит «сжимаемый поток» | |
| Ma и границы | назову 0,3 / 0,8 / 1,0 | |
| Скорость звука | знаю c ≈ 340 (15 °C), зависит от T | |
| Критический Ma | связу с толщиной профиля | |
| Drag divergence | знаю про скачок Cd | |
| Сжимаемое q | применю поправку при Ma выше 0,3 | |
| Высота | учту c(T) на высоте | |
| Практика | оценю, нужен ли Ma-бюджет |
10. Источники
- Wikipedia, «Compressible flow» — сжимаемость, Ma-границы. en.wikipedia.org/wiki/Compressible_flow
- Wikipedia, «Mach number» — Ma, критический Ma, drag divergence. en.wikipedia.org/wiki/Mach_number / ru.wikipedia.org/wiki/Число_Маха (Число Маха) (рисунок)
- Wikipedia, «Isentropic flow» — p₀/p, ρ₀/ρ от Ma. en.wikipedia.org/wiki/Isentropic_flow / ru.wikipedia.org/wiki/Изоэнтропийный_процесс (Изоэнтропийный процесс)
- Wikipedia, «Dynamic pressure» (compressible) — сжимаемое q. en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_pressure
- Wikipedia, «Shock wave» / «Normal shock» — ударные волны. en.wikipedia.org/wiki/Shock_wave / ru.wikipedia.org/wiki/Ударная_волна (Ударная волна) (рисунок)
Проверено: 02.09.2026.
↑ К оглавлению- мод. : Суббота, 05 сентября 2026