15. Поток и струйка. Уравнение непрерывности #
Воздух вокруг летящего БПЛА (беспилотный летательный аппарат) — это упорядоченное движение, которое удобнее описывать «потоком» и «струйками», а не отдельными молекулами. Из одного сохранения массы следует уравнение непрерывности: где поток сжимается — скорость растёт. На этом стоит половина аэродинамики: от трубки Пито до индуктивной скорости у диска винта.
Содержание
1. Цели статьи
- Пользоваться понятиями «поток», «струйка», «трубка тока» и расходом Q.
- Применять уравнение непрерывности для несжимаемого и (грубо) сжимаемого потоков.
- Оценивать индуктивную скорость воздуха у диска винта БПЛА.
- В несжимаемом потоке (ρ = const) произведение скорости на площадь сечения сохраняется: \(V_1 S_1 = V_2 S_2 \). При сужении вдвое по диаметру площадь уменьшается в 4 раза, а скорость возрастает в 4 раза — поэтому разгон у сужений всегда сильнее, чем кажется «на глаз».
- Масса газа, проходящая через сечение за секунду, сохраняется всегда: \(\rho_1 V_1 S_1 = \rho_2 V_2 S_2 \). Это прямое следствие закона сохранения массы; для сжимаемых потоков меняется ещё и ρ. Уравнение непрерывности — базовое при расчёте сопел, трубок и дисков винтов.
2. Величины и единицы измерения (глоссарий)
Все величины, используемые в статье и задачах, с единицами измерения. Ссылочные значения: ρ_возд ≈ 1,2 кг/м³ (уровень моря); 1" = 0,0254 м.
| Символ | Величина | Единица (СИ) | Типовые значения в статье |
|---|---|---|---|
| V | скорость потока | м/с (метр в секунду) | 5–30 |
| S | площадь сечения потока | м² (квадратный метр) | 0,01–0,0507 |
| Sдиск | площадь диска винта | м² | 0,0507 (один винт 10") |
| D | диаметр (трубы, винта) | м (дюйм) | 0,05–0,254 м |
| Q | объёмный расход | м³/с | 0,3–0,6 |
| ṁ | массовый расход | кг/с | 0,36 |
| ρ | плотность воздуха | кг/м³ | 1,2 (уровень моря) |
| w | индуктивная скорость у диска | м/с | 11,8 |
| Ma | число Маха (безразмерная: V/c) | — | 0,3 (порог сжимаемости) |
3. Потоки, струйки, трубка тока
- Поток — множество частиц среды, движущихся в некоторой области. В аэродинамике БПЛА — воздух относительно летящего аппарата (поток «налетает» на БПЛА со скоростью полёта).
- Струйка (линия тока) — кривая, касательная к вектору скорости в каждой точке. В установившемся потоке линии тока не пересекаются.
- Трубка тока (рисунок — Wikipedia) / Линия тока — пучок линий тока, огибающий замкнутый контур. Через сечения трубки в установившемся режиме проходит одинаковый расход.
Два описания: лагранжево (следим за конкретной частицей) и эйлерово (смотрим, что происходит в фиксированной точке пространства — «поле скоростей»). Инженерные расчёты используют эйлерово описание.
↑ К оглавлению4. Расход и уравнение непрерывности
Объёмный расход через сечение S при равномерном распределении скорости:
\[ Q = V \cdot S \qquad \text{[м}^3/\text{с]} \]Массовый расход:
\[ \dot{m} = \rho \cdot Q = \rho V S \qquad \text{[кг/с]} \]Уравнение непрерывности — следствие сохранения массы. Для установившегося потока: через любое сечение трубки тока проходит один и тот же массовый расход:
\[ \rho_1 V_1 S_1 = \rho_2 V_2 S_2 \]Для несжимаемой жидкости/газа (ρ = const):
\[ V_1 S_1 = V_2 S_2 \] ↑ К оглавлению5. Сужение потока: почему растёт скорость
- Сопло/дроссель: канал сужается (S↓) → скорость растёт (V↑). Так устроены сопла, дроссели трубопроводов, «шейка» трубки Вентури.
- Струйка вокруг тела: поток обтекает тело, и в наиболее узком месте (обычно у «талии») струйка сжимается → локальный разгон воздуха. Это — основа того, что Бернулли превращает разгон в падение давления (статья 16).
- Диск винта: винт отбирает из потока объём воздуха Q; часть этого воздуха ускоряется вдоль оси — на сколько, определяется площадью диска S (статья 25).
6. Поток вокруг БПЛА: индукция у диска винта
Винт БПЛА в режиме висения пропускает через свой диск объёмный расход воздуха \(Q \) [м³/с]. Часть этого воздуха ускоряется по оси (индуктивная скорость \(w \)):
\[ w = \frac{Q}{S_{\text{диск}}} \]где \(S_{\text{диск}} \) — площадь круга, описываемого винтами. Чем больше суммарная площадь дисков (больше винтов и/или больший диаметр), тем при том же расходе меньше индукция — и меньше индуктивная мощность (статья 25).
Практический след: «двойной» два винта диаметром 10" дают большую суммарную площадь дисков, чем четыре винта 5" — меньше индукция, выше КПД, больше запас по тяге.
↑ К оглавлению7. Типичные ошибки
- Применять V₁S₁=V₂S₂ при высокой скорости: при Ma (числе Маха) выше ~0,3 воздух уже «сжимаем» — нужно \(\rho_1 V_1 S_1 = \rho_2 V_2 S_2 \). При сильном ускорении/торможении ρ меняется (статья 18).
- Путать Q и ṁ: Q — объём (м³/с), ṁ — масса (кг/с). Для воздуха с ρ ≈ 1,2 кг/м³: 1 м³/с ≈ 1,2 кг/с, но на высотах ρ падает, и разница растёт.
- Игнорировать локальный разгон в узком месте: скорость именно выше — и именно поэтому давление ниже (статья 16).
- Игнорировать «входные/выходные» эффекты: в коротких соплах/дуктах реальная картина не совсем «идеальная», но порядок величин — тот же.
8. Практика: типовые задачи (с решениями)
Все задачи построены по единому шаблону: Задача — что происходит и что нужно найти (обычным языком); Заданные параметры — таблица всех известных величин с единицами измерения; Искомые параметры — что вычислить, с единицами; Решение — по шагам; Ответ и Вывод — результат и его практический смысл.
Задача 1. Скорость в сопле
Задача. Воздух течёт в горизонтальной трубе диаметром 100 мм со скоростью 5 м/с. В сужении диаметр 50 мм. Нужно найти скорость в сужении (несжимаемый поток) — базовый пример уравнения непрерывности.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| диаметр в широкой части, D₁ | 100 мм |
| диаметр в сужении, D₂ | 50 мм |
| скорость в широкой части, V₁ | 5 м/с |
| сжимаемость | несжимаемый (ρ = const) |
Искомые параметры:
- скорость в сужении, V₂ (м/с).
Решение.
- Уравнение непрерывности: \(V_1 S_1 = V_2 S_2 \).
- Площадь — квадрат диаметра: \(S \propto D^2 \), поэтому \(V_2 = V_1 (D_1/D_2)^2 \).
- \(V_2 = 5 \cdot (100/50)^2 = 5 \cdot 4 = 20\ \text{м/с} \).
Задача 2. Индукция у диска
Задача. БПЛА с одним винтом 10" (диаметр 0,254 м) висит в воздухе. Винт пропускает расход Q = 0,6 м³/с. Нужно найти индуктивную скорость воздуха у диска — она определяет напор под винтом и индуктивные потери (статья 25).
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| диаметр винта, D | 0,254 м (10") |
| объёмный расход, Q | 0,6 м³/с |
Искомые параметры:
- площадь диска, S (м²);
- индуктивная скорость, w (м/с).
Решение.
- Площадь круга: \(S = \pi D^2/4 = \pi \cdot 0{,}254^2/4 \approx 0{,}0507\ \text{м}^2 \).
- Индукция: \(w = Q/S = 0{,}6/0{,}0507 \approx 11{,}8\ \text{м/с} \).
Задача 3. Шейка струйки
Задача. Поток воздуха (V∞ = 12 м/с) обтекает тело. В «шейке» (узком месте у «талии») струйка сжимается до 0,75 от исходной площади. Нужно найти локальную скорость в шейке (несжимаемый, 2D-оценка) — она через Бернулли даёт локальное падение давления (статья 16).
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| скорость набегающего потока, V∞ | 12 м/с |
| отношение площади в шейке, S/S∞ | 0,75 |
Искомые параметры:
- локальная скорость в шейке, V (м/с);
- относительный разгон (%).
Решение.
- Непрерывность: \(V_\infty S_\infty = V S \), откуда \(V = V_\infty (S_\infty/S) = V_\infty / 0{,}75 \).
- \(V = 12/0{,}75 = 16\ \text{м/с} \).
- Разгон: (16−12)/12 = 33 %.
Задача 4. Массовый расход
Задача. Сопло площадью 0,01 м² пропускает воздух со скоростью 30 м/с при ρ = 1,2 кг/м³. Нужно найти объёмный и массовый расход и массу воздуха, прошедшую за 10 с — различие Q и ṁ.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| площадь сопла, S | 0,01 м² |
| скорость, V | 30 м/с |
| плотность воздуха, ρ | 1,2 кг/м³ |
| время, t | 10 с |
Искомые параметры:
- объёмный расход, Q (м³/с);
- массовый расход, ṁ (кг/с);
- масса за 10 с, m (кг).
Решение.
- \(Q = V S = 30 \cdot 0{,}01 = 0{,}3\ \text{м}^3/ \text{с} \).
- \(\dot{m} = \rho Q = 1{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}36\ \text{кг/с} \).
- \(m = \dot{m}\, t = 0{,}36 \cdot 10 = 3{,}6\ \text{кг} \).
Задача 5. Дукто-проп
Задача. Винт с дуктом (площадь дукта S = 0,02 м²) в режиме висения создаёт осевой расход 0,4 м³/с. Нужно найти осевую скорость в дукте и оценить, как она изменится, если дукт сузится в 1,5 раза.
Заданные параметры:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| площадь дукта, S | 0,02 м² |
| осевой расход, Q | 0,4 м³/с |
| степень сужения дукта | 1,5 раза |
Искомые параметры:
- осевая скорость в дукте, w (м/с);
- скорость после сужения, w′ (м/с).
Решение.
- \(w = Q/S = 0{,}4/0{,}02 = 20\ \text{м/с} \).
- При сужении S′ = S/1,5: \(w' = Q/(S/1{,}5) = 1{,}5 \cdot w = 30\ \text{м/с} \) (при том же расходе).
9. Чек-лист самопроверки знаний
Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.
| ✓ | Навык | Проверка |
|---|---|---|
| Поток/струйка | различу поток, струйку, трубку тока | |
| Лагранж/Эйлер | знаю, что инженер считает в «точке» | |
| Расход Q | посчитаю Q = V·S | |
| Массовый ṁ | пересчитаю в ρQ | |
| Непрерывность | применю V₁S₁=V₂S₂ и ρV S | |
| Сужение | объясню разгон в «шейке» | |
| Индукция диска | оценю w = Q/S у винта | |
| Сжимаемость | знаю, где V₁S₁=V₂S₂ не работает | |
| Практика | связу расход с тягой/индукцией |
10. Источники
- Wikipedia, «Streamline» — линии тока, трубка тока. en.wikipedia.org/wiki/Streamlines,_streaklines,_and_pathlines / ru.wikipedia.org/wiki/Линия_тока (Линия тока) (рисунок)
- Wikipedia, «Equation of continuity» — Q = V·S, ρV S = const. en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_continuity / ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_непрерывности (Уравнение непрерывности)
- Wikipedia, «Fluid dynamics» / «Velocity field» — лагранжев/эйлеров подход. en.wikipedia.org/wiki/Fluid_dynamics
- Wikipedia, «Actuator disk» — индукция у диска винта (основа для статьи 25). en.wikipedia.org/wiki/Actuator_disk
Проверено: 02.09.2026.
↑ К оглавлению- мод. : Воскресенье, 06 сентября 2026