64. Напряжения и деформации. Закон Гука #

Напряжение — сила на единицу площади сечения (МПа), деформация — относительное изменение размеров. В упругой области действует закон Гука σ = E·ε: одна формула для углеродной рамы, алюминиевой руки и 3D-печатной детали — различаются модуль упругости и прочность. Разбираем напряжения, деформации, упругий предел, свойства материалов конструкции БПЛА (беспилотного летательного аппарата) и расчёт запаса прочности стоек, рук и креплений.

Содержание

1. Цели статьи
- Что вы сможете после прочтения
2. Глоссарий величин
- Все величины с единицами измерения
3. Напряжение и деформация
- σ = F/A, ε = ΔL/L, единицы
4. Закон Гука и упругий предел
- σ = E·ε, кривая растяжения, ν, G
5. Свойства материалов конструкции
- E, прочность, плотность: таблица
6. Нагрузки на элементы рамы БПЛА
- Стойки, руки, крепления, шпильки
7. Практика: типовые задачи
8. Резюме
- Чек-лист самопроверки
9. Источники
- Референсы

1. Цели статьи

Вычислять нормальное и касательное напряжения σ = F/A и деформации ε = ΔL/L.
Применять закон Гука σ = E·ε в упругой области и находить деформации элементов рамы.
Сравнивать материалы конструкции (углепластик, алюминий, стали, 3D-пластики) по E, прочности и плотности.
Оценивать запас прочности стоек шасси, рук, креплений и крепёжа БПЛА.

↑ К оглавлению

2. Глоссарий величин

Все величины, используемые в статье, с единицами измерения (СИ):

Величина	Обозначение	Единица	Что это
Нормальное напряжение	σ	МПа (мегапаскал)	σ = F/A; 1 МПа = 1 Н/мм²; допустимое — по материалу (25–500 МПа)
Касательное напряжение	τ	МПа (мегапаскал)	τ = F/A; срез резьбы/шилки; τ_доп ~ 0,58·σ_доп (металлы)
Площадь сечения	A	мм² (миллиметр²)	болт M3 — 7,1 мм²; труба 6×1 — 15,7 мм²; пластина 20×4 — 80 мм²
Сила	F	Н (ньютон)	вес дрона 2,5 кг — 24,5 Н; посадка 4 g — 98 Н на раму
Деформация (относительная)	ε	— (безразмерная величина), %	ε = ΔL/L; упругая — 0,01–2 %; пластическая — остаточная
Изменение длины	ΔL	мм (миллиметр)	ΔL = ε·L; упругая деформация стойки — доли мм
Длина элемента	L	мм (миллиметр)	стойка 120 мм; рука 150–300 мм
Модуль упругости (Юнга)	E	ГПа (гигапаскал)	углепластик 70–150; сталь 200; алюминий 69; Ti 114; PLA 3–3,5
Предел текучести	σ_т	МПа (мегапаскал)	6061-T6 — 276; 7075-T6 — 503; PLA (печатный) — 35–50
Предел прочности	σ_пр	МПа (мегапаскал)	разрушение: 6061 — 310; 7075 — 572; углепластик (плоскость) — 300–600
Коэффициент запаса	n	— (безразмерная величина)	n = σ_доп/σ_раб; рама 3–5, критические узлы 5–10
Число Пуассона	ν	— (безразмерная величина)	0,3–0,35; сжатие в поперёк при растяжении вдоль; G = E/(2(1+ν))

↑ К оглавлению

3. Напряжение и деформация

Напряжение (рисунок — Wikipedia) / Механическое напряжение — внутренняя сила, отнесённая к площади сечения: показывает, насколько «нагружен» материал независимо от размера детали. Нормальное (растяжение/сжатие):

Величина	Формула	Заметка
Нормальное напряжение	σ = F/A	растяжение +, сжатие −; 1 МПа = 1 Н/мм²
Касательное напряжение (срез)	τ = F/A_ср	резьба, шплинт, заклёпка; A_ср — площадь среза
Относительная деформация	ε = ΔL/L	безразмерная; в % или в долях (10⁻³)

Единица напряжения — паскаль (Па) = Н/м²; в конструкции работают в МПа = Н/мм² (удобно: размеры в мм, сила в Н — и напряжение в МПа). Сравните: 2,5 кг (24,5 Н) на стойку с сечением 15,7 мм² — всего 1,6 МПа, а предел прочности углепластика — 300–600 МПа: запас по растяжению у стойки огромный, поэтому стойки ломаются не «от веса», а от бокового изгиба и ударов (статья 66).

Напряжение — интенсивность, не сила. Одна и та же сила 100 Н: в тросе 2 мм² — 50 МПа (на пределе), в стойке 200 мм² — 0,5 МПа (незаметно). Сравнивать можно только напряжения, не силы.

↑ К оглавлению

4. Закон Гука и упругий предел

Закон Гука (рисунок — Wikipedia) / Закон Гука в инженерной форме: в упругой области напряжение линейно связано с деформацией:

Величина	Формула	Заметка
Закон Гука (растяжение)	σ = E·ε	E — модуль упругости; ΔL = F·L/(E·A)
Модуль упругости (Юнга)	E = σ/ε	модуль Юнга (рисунок — Wikipedia) / Модуль Юнга: жёсткость материала, не детали
Предел текучести	σ_т	текучесть (рисунок — Wikipedia) / Текучесть: выше — остаточная деформация
Трансверсальная деформация	ε_поп = −ν·ε_прод	ν — число Пуассона (рисунок — Wikipedia) / Коэффициент Пуассона, 0,3–0,35
Модуль сдвига	G = E / (2·(1+ν))	для ν = 0,33: G ≈ 0,376·E (сталь ~79 ГПа, алюминий ~26 ГПа)

Кривая «напряжение — деформация» при растяжении образца: линейный участок (закон Гука) до предела текучести σ_т; дальше — пластическая деформация (образец «тянется» и не возвращается) до разрыва при σ_пр. У сталей и алюминиевых сплавов текучесть выражена; у 3D-пластиков (PLA/PETG) — размыта, у углепластика разрушение наступает почти сразу после линейного участка (хрупкий, многослойный механизм — дифминация (отслоение слоёв), разрыв волокон, статья 68).

Граница применимости. Закон Гука — только в упругой области (σ меньше σ_т). Если элемент разогнут/перегнут (остаточная деформация) — линейные формулы не работают: деталь считается вышедшей из строя, даже если «ещё держит».

↑ К оглавлению

5. Свойства материалов конструкции

Базовые механические свойства материалов, применяемых в конструкции БПЛА (типичные значения; точные — по паспорту конкретной марки):

Материал	ρ, г/см³	E, ГПа	σ_т, МПа	σ_пр, МПа	Применение
Углепластик (CFRP, плёнка 3K)	1,45–1,6	20–40 (плоскость); 70–155 (по волокнам)	300–600 (без выраженной текучести)	300–600	рама, руки, стойки
Стеклопластик (GFRP)	1,8–2,0	30–45	300–500	300–500	дешёвые рамы, корпусы
Алюминий 6061-T6	2,70	69	276	310	кронштейны, шпильки, стойки
Алюминий 7075-T6	2,81	72	503	572	высоконагруженные детали
Титан Ti-6Al-4V	4,43	114	880	950	штифты, втулки, крепёж
Сталь (Ст45/1045)	7,85	200–210	355	600	пружинки, оси, крепёж
PLA (печатный, FDM)	1,24	2–3,5	35–50	40–60	корпусы, обтекатели, дуги
PETG (печатный, FDM)	1,27	1,5–2,1	40–55	50–65	стойкие к ветку корпусы
ABS (печатный, FDM)	1,05	1,5–2,3	30–40	35–45	корпусы (выбросы при печати)
Фотосмола (SLA/DLP)	1,05–1,2	2,5–3,5	50–80	50–90	мелкие детали, лопасти, корпуса

Два параметра определяют поведение детали: E отвечает за жёсткость (насколько прогнётся под нагрузкой), σ_т/σ_пр — за прочность (когда сломается). Углепластик выигрывает и по жёсткости, и по прочности, и по массе (удельная прочность σ_пр/ρ у CFRP в 2–4 раза выше, чем у алюминия); у печатных пластиков прочность ниже, но масса мала и детали сложной формы печатаются без инструмента.

↑ К оглавлению

6. Нагрузки на элементы рамы БПЛА

Элемент	Основная нагрузка	Типовой режим	Опасное состояние
Стойка шасси (труба/пруток)	сжатие + изгиб (косой удар)	посадка 2–6 g: 12–37 Н на стойку (дрон 2,5 кг, 4 стойки)	пробой (статья 66) — при осевом сжатии; изгиб — при боковом ударе
Рука/плечо (угол 45–90°)	изгиб (вес мотора + удары)	мотор+винт 150–300 г на конце руки 150–300 мм	трещина у посадочного места (концентратор)
Посадочное место под мотор (пята)	растяжение/отрыв	тяга в манёвре 2–4 g × масса мотора	отрыв от рамы (слабое звено при асимметрии)
Крепёж (болты M3/M4)	срез + растяжение гайки	преднатяг + динамическая нагрузка	срез резьбы, вытягивание — при разнице материалов
3D-печатная деталь (корпус, дуга)	изгиб/растяжение в слабых слоях	удары о землю, порывы	трещина по межслойным связям (низкая прочность в Z)

Правило работы с нагрузками: (1) определить наихудший случай — посадку с максимальным запасом (для FPV 4–6 g; статья 74), (2) посчитать напряжение в критическом сечении, (3) проверить запас n = σ_доп/σ (рама — 3–5, критические узлы — 5–10; статья 65). Ударные нагрузки выше статических: удар о землю с 3 м/с эквивалентен 10 g и более (статья 61) — стойки рассчитывают на 2–3 таких удара по усталости (статья 67).

↑ К оглавлению

7. Практика: типовые задачи (с решениями)

Задача 1. Углеродная стойка шасси

Задача. Углеродная труба стойки: d_нар = 6 мм, d_внутр = 4 мм (стенка 1 мм), L = 120 мм, E = 100 ГПа. Нагрузка при посадке 6 g на дрон 2,5 кг (4 стойки). Найти осевое напряжение, деформацию и запас прочности (σ_пр = 400 МПа).

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Диаметры трубы	6 мм / 4 мм (A = π(6²−4²)/4 = 15,7 мм²)
Длина L	120 мм
Модуль E	100 ГПа
Сила на стойку F	24,5 · 6 / 4 = 36,75 Н ≈ 37 Н
Предел прочности σ_пр	400 МПа

Искомые параметры: напряжение σ (МПа); деформация ΔL (мм); запас n.

Решение.

σ = F/A = 37/15,7 = 2,4 МПа.
ΔL = F·L/(E·A) = 37·120/(100000·15,7) = 4440/1570000 = 0,003 мм (ε = 2,4·10⁻⁵).
n = σ_пр/σ = 400/2,4 ≈ 165 (по осевому растяжению/сжатию).

Ответ: σ = 2,4 МПа; ΔL = 0,003 мм; n ≈ 165.

Вывод. Осевое сжатие — неопасно для стойки (запас более 100); стойка упирается в пробой (статья 66) или изгибается при боковом ударе — проектируют под эти режимы, а не под «вес».

Задача 2. Болт M3 под нагрузкой

Задача. Болт M3 (полезный диаметр 3 мм, A = 7,1 мм²) из стали 8.8 (σ_т = 660 МПа, E = 200 ГПа) длиной 12 мм держит кронштейн: растягивающая сила 300 Н (преднатяг + рабочая). Найти напряжение, деформацию и запас по текучести.

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Площадь сечения A (M3)	7,1 мм²
Сила F	300 Н
Длина в работе L	12 мм
E стали 8.8	200 ГПа
Предел текучести σ_т	660 МПа

Искомые параметры: напряжение σ (МПа); деформация ΔL (мм); запас n по текучести.

Решение.

σ = F/A = 300/7,1 = 42 МПа.
ΔL = F·L/(E·A) = 300·12/(200000·7,1) = 3600/1420000 = 0,003 мм.
n = σ_т/σ = 660/42 ≈ 16.

Ответ: 42 МПа; 0,003 мм; n ≈ 16.

Вывод. Стальной болт M3 — прочный элемент; на практике крепления слабеют не от растяжения болта, а от среза резьбы в алюминиевом/углеродном корпусе, выкручивания и усталости (статьи 65, 67, 71).

Задача 3. 3D-печатная деталь из PLA

Задача. Печатная PLA-деталь (FDM, σ_пр = 40 МПа, E = 3 ГПа): стенка 2×10 мм (A = 20 мм²), длина 40 мм, осевая нагрузка 300 Н. Найти напряжение, деформацию и запас прочности.

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Площадь сечения A	20 мм² (2×10 мм)
Длина L	40 мм
Модуль E (печатный PLA)	3 ГПа
Нагрузка F	300 Н
Предел прочности σ_пр	40 МПа

Искомые параметры: напряжение σ (МПа); деформация ε (%) и ΔL (мм); запас n.

Решение.

σ = F/A = 300/20 = 15 МПа.
ε = σ/E = 15/3000 = 0,005 (0,5 %); ΔL = ε·L = 0,005·40 = 0,2 мм.
n = σ_пр/σ = 40/15 ≈ 2,7.

Ответ: 15 МПа; 0,5 % (0,2 мм); n ≈ 2,7.

Вывод. Запас 2,7 — ниже нормы для нагруженных узлов (3–5): печатные детали под нагрузку считают по изгибу (там слабее), утолщают стенки или ставят углепластиковые вставки; PLA дополнительно теряет прочность от тепла и влаги (статья 72).

Задача 4. Углерод против алюминия

Задача. Два стержня d = 3 мм, L = 100 мм: углеродный (E = 100 ГПа) и алюминиевый 6061 (E = 69 ГПа). Оба нагружены F = 100 Н. Сравнить напряжения и деформации.

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Сечение (оба)	A = π·3²/4 = 7,07 мм²
Длина L (оба)	100 мм
Сила F (оба)	100 Н
E (углерод / алюминий)	100 ГПа / 69 ГПа

Искомые параметры: σ и ΔL для каждого стержня; отношение деформаций.

Решение.

Напряжение одинаково: σ = F/A = 100/7,07 = 14,1 МПа (зависит только от F и A).
Углерод: ΔL = F·L/(E·A) = 100·100/(100000·7,07) = 0,014 мм.
Алюминий: ΔL = 100·100/(69000·7,07) = 0,021 мм. Отношение ΔL_al/ΔL_cf = 100/69 ≈ 1,45.

Ответ: σ = 14,1 МПа (оба); ΔL: 0,014 мм (углерод), 0,021 мм (алюминий); алюминий прогибается в 1,45 раза сильнее.

Вывод. При одной силе и сечении напряжения равны, а жёсткость задаёт E: чем выше модуль упругости, тем меньше деформация. Это основа выбора материала по «жёсткости» (рама) и «прочности» (запас) — два разных критерия.

Задача 5. Деформация в пределах упругости

Задача. Алюминиевая рука 6061 (E = 69 ГПа, σ_т = 276 МПа) длиной 200 мм: измерена упругая деформация ΔL = 0,5 мм. Найти деформацию ε, напряжение и запас по текучести. В пределах ли упругости?

Заданные параметры:

Параметр	Значение
Длина L	200 мм
Деформация ΔL	0,5 мм
E (6061)	69 ГПа
Предел текучести σ_т	276 МПа

Искомые параметры: ε (%); σ (МПа); запас n; вывод о состоянии.

Решение.

ε = ΔL/L = 0,5/200 = 0,0025 (0,25 %).
σ = E·ε = 69000·0,0025 = 172,5 МПа.
n = σ_т/σ = 276/172,5 = 1,6; σ меньше σ_т — упругая область (но запас мал).

Ответ: ε = 0,25 %; σ = 172,5 МПа; n = 1,6 — в пределах упругости, запас мал.

Вывод. 0,25 % — ещё упруго (алюминий держит до ~1 %), но запас 1,6 — ниже нормального 3–5: такой узел под регулярными нагрузками накопит усталость (статья 67); нормой считается деформация рамы до L/100–L/200 при рабочей нагрузке.

↑ К оглавлению

8. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓	Навык	Проверка
	Напряжение	σ = F/A; 1 МПа = 1 Н/мм²; τ = F/A_ср; сравниваю напряжения, а не силы
	Закон Гука	σ = E·ε; ΔL = FL/(EA); только в упругой области (σ меньше σ_т)
	Свойства материалов	E: CFRP 70–155, сталь 200, Al 69, Ti 114, PLA 3; σ_пр и ρ из таблицы
	Жёсткость vs прочность	E — жёсткость; σ_т/σ_пр — прочность; два разных критерия выбора
	Запас прочности	n = σ_доп/σ; рама 3–5, критические 5–10; стойки ломаются от изгиба/пробойа, не от веса

↑ К оглавлению

9. Источники

Wikipedia, «Stress (mechanics)» — напряжение (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics) / ru.wikipedia.org/wiki/Механическое_напряжение (Механическое напряжение)
Wikipedia, «Hooke's law» — закон Гука (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law / ru.wikipedia.org/wiki/Закон_Гука (Закон Гука)
Wikipedia, «Young's modulus» — модуль Юнга (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Young%27s_modulus / ru.wikipedia.org/wiki/Модуль_Юнга (Модуль Юнга)
Wikipedia, «Yield Strength» — предел текучести (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Yield_strength / ru.wikipedia.org/wiki/Текучесть (Текучесть)
Wikipedia, «Poisson ratio» — число Пуассона (рисунок). en.wikipedia.org/wiki/Poisson_ratio / ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_Пуассона (Коэффициент Пуассона)
Статьи цикла 56 (силы, реакции опор), 61 (удар, импульс), 65 (критерии прочности, запас), 66 (изгиб, пробой), 67 (усталость), 68 (свойства углепластика) — смежные разделы. Свойства материалов — типичные паспортные диапазоны; точные — по марке (6061-T6, 7075-T6, Ti-6Al-4V, 3K CFRP, PLA/PETG FDM). Проверено: 03.09.2026.

Числовые примеры рассчитаны автором; свойства материалов — типичные диапазоны (зависят от марки, ориентации волокон, режимов печати). Проверено: 03.09.2026.

↑ К оглавлению

мод. : Воскресенье, 06 сентября 2026