Перейти к содержимому
12

16. Уравнение Бернулли и скоростной напор #

Уравнение Бернулли — «баланс» давления, скорости и высоты в установившемся потоке несжимаемой жидкости/газа: где воздух ускоряется, там его статическое давление падает. Из него вытекают скоростной напор (основа трубки Пито и анемометров) и динамическая нагрузка \(q = \rho V^2/2 \) — та величина, через которую считаются подъёмная сила и сопротивление.

Содержание

1. Цели статьи

  • Пользоваться уравнением Бернулли и понятиями статического/полного давления.
  • Считать скоростной напор (рисунок — Wikipedia) (динамическую нагрузку) \(q = \rho V^2/2 \).
  • Знать, где Бернулли применимо, а где — нет (сжимаемость, турбулентность, трение).
Что особенно важно запомнить:
  1. Уравнение Бернулли \(p + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g h = \text{const} \) вдоль линии тока означает, что энергия потока делится между давлением и кинетической энергией: поток ускорился — статическое давление упало. На этом работают трубка Пито и скоростной напор.
  2. На малых высотах полёта БПЛА член \(\rho g h \) пренебрежимо мал, и уравнение сводится к p + q = const: разгон потока в точке эквивалентен падению давления в этой точке.
  3. Динамическая нагрузка \(q = \rho V^2/2 \) растёт по квадрату скорости: удвоение скорости даёт ×4 по q — и ×4 по подъёмной силе и сопротивлению. Поэтому расчётные нагрузки определяются максимальной, а не средней скоростью.
↑ К оглавлению

2. Величины и единицы измерения (глоссарий)

Все величины, используемые в статье и задачах, с единицами измерения. Ссылочные значения: ρ_возд = 1,225 кг/м³ (уровень моря); p_атм = 101 325 Па; g = 9,81 м/с².

СимволВеличинаЕдиница (СИ)Типовые значения в статье
p статическое давление Па (паскаль) 101 325 (уровень моря)
p₀ полное (приборное) давление Па p + q
q скоростной напор (динамическая нагрузка) Па 551 (V = 30 м/с)
ρ плотность воздуха кг/м³ 1,225 (уровень моря)
V скорость потока/полёта м/с 10–50 (таблица), 102 (лимит)
h высота м (метр) ρg h мал на малых h
g ускорение свободного падения м/с² 9,81
Ma число Маха (безразмерная: V/c) — 0,3 (граница применимости)
S опорная площадь (лобевая/крыла) м² 0,1
Cy, Cx коэффициенты подъёма и сопротивления (безразмерные) — Cx ≈ 1,2 (обтекатель)
↑ К оглавлению

3. Уравнение Бернулли (рисунок — Wikipedia) / Закон Бернулли: смысл и форма

Для установившегося безвихревого потока несжимаемой среды вдоль линии тока:

\[ p + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g h = \text{const} \]
  • \(p \) — статическое давление (давление в «движущемся» потоке).
  • \(\frac{1}{2}\rho V^2 \) — скоростной напор (динамическая нагрузка) q.
  • \(\rho g h \) — гидростатический член.
  • Сумма \(p + q \) — полное (приборное) давление p0.

Смысл: энергия потока распределяется между давлением и кинетической энергией — поток ускорился → давление упало.

↑ К оглавлению

4. Скоростной напор и динамическая нагрузка q

\[ q = \frac{1}{2}\rho V^2 \]

Это «давление», которое возникает при торможении потока до нуля (точка застоя). Именно его измеряет трубка Пито (статья 17).

V, м/сV, км/чq (ρ=1,225), Паq, мм вод. ст. (≈)
10 36 61 ≈ 6,2 мм
20 72 245 ≈ 25 мм
30 108 551 ≈ 56 мм
40 144 980 ≈ 100 мм
50 180 1531 ≈ 156 мм

Подъёмная сила и сопротивление через q:

\[ Y = C_y \, q \, S, \qquad X = C_x \, q \, S \]

— отсюда всё: расчётная скорость, потолок, нагрузка на раму, парусность (статьи 22–23).

↑ К оглавлению

5. Где Бернулли работает на БПЛА (беспилотный летательный аппарат)

  • Подъёмная сила крыла/винта: на верхней (выпуклой) поверхности поток ускоряется → давление ниже; на нижней — выше. Разность даёт подъём (полное объяснение — через циркуляцию, но Бернулли — рабочий инструмент расчёта).
  • Трубка Пито: разность полного и статического давлений = q → V (статья 17).
  • Анемометры: чашечный, лопастной, Пито-анемометры.
  • Дроссели и сопла: сужение → разгон → падение статического давления (статья 15).
  • Подсос (локальное падение давления): обтекание тел, работа обтекателей, эффекты Магнуса и Коанды (с оговорками).
↑ К оглавлению

6. Ограничения: сжимаемость, вихри, трение

  • Сжимаемость: при Ma (числе Маха) выше ~0,3 воздух уже нельзя считать несжимаемым — Бернулли в простой форме теряет точность; нужны сжимаемые поправки (статья 18). Для гражданских БПЛА Ma обычно 0,05–0,25 — формула работает.
  • Вихри/турбулентность: Бернулли строго для потока без трения и вихрей. В реальном пограничном слое есть потери — но для оценки q и подъёма формула остаётся рабочей с коэффициентами Cy/Cx.
  • Не вдоль линии тока: нельзя сравнивать точки на разных линиях тока без оговорок (при безвихревости можно).
  • Ударные волны: при сверхзвуке — совсем другая картина (статья 18).
↑ К оглавлению

7. Типичные ошибки

  • «Бернулли объясняет всё»: подъём крыла — не только «быстрее сверху, медленнее снизу» (циркуляция важна); Бернулли — часть, а не вся картина.
  • Применять при Ma выше 0,3: на быстрых платформах/высоких скоростях нужна сжимаемая модель.
  • Путать q и p₀: q — только «кинетическая» часть; p₀ = p + q — приборное давление.
  • Игнорировать ρ: q зависит от плотности — на высотах и в жару q при той же V меньше (статьи 3, 7).
  • Считать «давление у поверхности = атмосферное»: у обтекаемой поверхности оно сильно отличается от p∞ (отсюда подъём/сопротивление).
↑ К оглавлению

8. Практика: типовые задачи (с решениями)

Все задачи построены по единому шаблону: Задача — что происходит и что нужно найти (обычным языком); Заданные параметры — таблица всех известных величин с единицами измерения; Искомые параметры — что вычислить, с единицами; Решение — по шагам; Ответ и Вывод — результат и его практический смысл.

Задача 1. Скоростной напор при 30 м/с

Задача. БПЛА летит со скоростью V = 30 м/с (108 км/ч) у земли (ρ = 1,225 кг/м³). Нужно найти динамическую нагрузку q — базовую величину, через которую считаются подъёмная сила и сопротивление.

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
скорость, V 30 м/с
плотность воздуха, ρ 1,225 кг/м³

Искомые параметры:

  • динамическая нагрузка, q (Па).

Решение.

  1. Формула: \(q = \rho V^2/2 \).
  2. \(q = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 30^2 = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 900 = 551{,}25\ \text{Па} \).
Ответ: q ≈ 551 Па. Вывод: это та величина, которую «чувствует» крыло и рама при 108 км/ч; все аэродинамические силы пропорциональны q.

Задача 2. Скорость по Пито

Задача. Дифференциальный датчик (трубка Пито) показывает разность давлений 120 Па. Нужно найти скорость полёта (ρ = 1,225 кг/м³) — так работает аэроскорость.

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
разность давлений, Δp (= q) 120 Па
плотность воздуха, ρ 1,225 кг/м³

Искомые параметры:

  • скорость полёта, V (м/с, км/ч).

Решение.

  1. \(\Delta p = q = \rho V^2/2 \), откуда \(V = \sqrt{2\Delta p/\rho} \).
  2. \(V = \sqrt{240/1{,}225} = \sqrt{195{,}9} \approx 14{,}0\ \text{м/с} \).
Ответ: V ≈ 14 м/с (~50 км/ч). Вывод: скорость из Пито — корень из разности давлений; ошибка в ρ даёт ошибку в V через корень (V пропорционально 1/√ρ).

Задача 3. Ветровая нагрузка на обтекатель

Задача. Порыв ветра 15 м/с (ρ = 1,225) действует на обтекатель БПЛА лобовой площадью 0,1 м² (Cx ≈ 1,2). Нужно найти силу лобового сопротивления — оценка парусности при удержании позиции против ветра.

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
скорость ветра, V 15 м/с
плотность воздуха, ρ 1,225 кг/м³
лобевая площадь, S 0,1 м²
коэффициент сопротивления, Cx 1,2

Искомые параметры:

  • динамическая нагрузка, q (Па);
  • сила сопротивления, X (Н, кгс).

Решение.

  1. \(q = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 15^2 = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 225 = 137{,}8\ \text{Па} \).
  2. \(X = C_x q S = 1{,}2 \cdot 137{,}8 \cdot 0{,}1 \approx 16{,}5\ \text{Н} \).
  3. В кгс: 16,5/9,81 ≈ 1,7 кгс.
Ответ: ~16,5 Н (≈ 1,7 кгс). Вывод: даже «небольшой» порыв на крупную плоскую площадь даёт заметную силу — парусность влияет на удержание позиции.

Задача 4. Давление в шейке обтекания

Задача. Поток (V∞ = 12 м/с, p∞ = 101 325 Па, ρ = 1,225) обтекает тело; в «шейке» скорость 16 м/с (см. статью 15, задача 3). Нужно найти статическое давление в шейке — насколько оно падает из-за локального разгона.

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
скорость набегающего потока, V∞ 12 м/с
статическое давление на бесконечности, p∞ 101 325 Па
скорость в шейке, V 16 м/с
плотность воздуха, ρ 1,225 кг/м³

Искомые параметры:

  • статическое давление в шейке, p (Па); падение (Па).

Решение.

  1. Бернулли вдоль линии тока (высота не меняется): \(p = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho (V_\infty^2 - V^2) \).
  2. \(p = 101325 + 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot (144 - 256) = 101325 - 0{,}6125 \cdot 112 = 101325 - 68{,}6 \approx 101256\ \text{Па} \).
Ответ: p ≈ 101 256 Па (−69 Па). Вывод: локальный разгон → локальное падение давления — эффект «подсоса» у «талии» тела.

Задача 5. Лимит по сжимаемости

Задача. При какой скорости полёта (при 15 °C скорость звука c ≈ 340 м/с) число Маха достигает 0,3 — границы применимости «несжимаемого» Бернулли?

Заданные параметры:

ПараметрЗначение
скорость звука, c 340 м/с
предельное число Маха, Ma 0,3

Искомые параметры:

  • предельная скорость, V (м/с, км/ч).

Решение.

  1. \(V = Ma \cdot c = 0{,}3 \cdot 340 = 102\ \text{м/с} \).
  2. В км/ч: 102 · 3,6 ≈ 367 км/ч.
Ответ: ~102 м/с (~367 км/ч). Вывод: для большинства гражданских БПЛА (крейсер 20–40 м/с) запас по сжимаемости большой; для быстрых платформ 80–100 м/с — уже на границе.
↑ К оглавлению

9. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓НавыкПроверка
Форма Бернулли запишу p + q + ρgh = const
Статика/полное различу p, p₀, q
Скоростной напор посчитаю q = ρV²/2
Квадрат знаю, что V×2 → q×4
Пито найду V по Δp
Подъём/сопротивление связу Cy/Cx с q
Ограничения знаю про Ma 0,3, вихри, трение
ρ-зависимость учту высоту/жару
Практика оценю ветровую нагрузку
↑ К оглавлению

10. Источники

  1. Wikipedia, «Bernoulli's principle» — форма, статика/полное, q. en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_principle / ru.wikipedia.org/wiki/Закон_Бернулли (Закон Бернулли) (рисунок)
  2. Wikipedia, «Dynamic pressure» — q = ½ρV², применение. en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_pressure (рисунок)
  3. Wikipedia, «Lift (aerodynamics)» — подъём через q и Cy. en.wikipedia.org/wiki/Lift_(aerodynamics) / ru.wikipedia.org/wiki/Подъёмная_сила (Подъёмная сила)
  4. Wikipedia, «Drag coefficient» — сопротивление X = Cx q S. en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient / ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_сопротивления_формы (Коэффициент сопротивления формы)
  5. Wikipedia, «Compressible flow» / «Mach number» — граница 0,3. en.wikipedia.org/wiki/Compressible_flow

Проверено: 02.09.2026.

↑ К оглавлению
  • мод. : Понедельник, 07 сентября 2026