Перейти к содержимому
1

16. Уравнение Бернулли и скоростной напор

Уравнение Бернулли — «баланс» давления, скорости и высоты в установившемся потоке несжимаемой жидкости/газа: где воздух ускоряется, там его статическое давление падает. Из него вытекают скоростной напор (основа трубки Пито и анемометров) и динамическая нагрузка \( q = \rho V^2/2 \) — та величина, через которую считаются подъёмная и сопротивления.

Содержание

1. Цели статьи

  • Пользоваться уравнением Бернулли и понятиями статического/полного давления.
  • Считать скоростной напор (рисунок — Wikipedia) (динамическую нагрузку) \( q = \rho V^2/2 \).
  • Знать, где Бернулли применимо, а где — нет (сжимаемость, турбулентность, трение).
Что особенно важно запомнить: \( p + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g h = \text{const} \) вдоль линии тока; на малых высотах член \( \rho g h \) мал; \( q = \rho V^2/2 \) растёт по квадрату скорости — удвоение скорости = ×4 по нагрузке.
↑ К оглавлению

2. Уравнение Бернулли (рисунок — Wikipedia): смысл и форма

Для установившегося безвихревого потока несжимаемой среды вдоль линии тока:

\[ p + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho g h = \text{const} \]
  • \( p \) — статическое давление (давление в «движущемся» потоке).
  • \( \frac{1}{2}\rho V^2 \) — скоростной напор (динамическая нагрузка) q.
  • \( \rho g h \) — гидростатический член (высота).
  • Сумма \( p + q \) — полное (приборное) давление p0.

Смысл: энергия потока распределяется между давлением и кинетической энергией — ускорился → давление упало.

↑ К оглавлению

3. Скоростной напор и динамическая нагрузка q

\[ q = \frac{1}{2}\rho V^2 \]

Это «давление», которое возникает при торможении потока до нуля (точка застоя). Именно его измеряет трубка Пито (статья 17).

V, м/сV, км/чq (ρ=1,225), Паq, мм вод. ст. (≈)
10 36 61 ≈ 6,2 мм
20 72 245 ≈ 25 мм
30 108 551 ≈ 56 мм
40 144 980 ≈ 100 мм
50 180 1531 ≈ 156 мм

Подъёмная сила и сопротивление через q:

\[ Y = C_y \, q \, S, \qquad X = C_x \, q \, S \]

— отсюда всё: расчётная скорость, потолок, нагрузка на раму, парусность (статьи 22–23).

↑ К оглавлению

4. Где Бернулли работает на БПЛА (беспилотный летательный аппарат)

  • Подъёмная сила крыла/винта: на верхней (выпуклой) поверхности поток ускоряется → давление ниже; на нижней — выше. Разность даёт подъём (полное объяснение — через циркуляцию, но Бернулли — рабочий инструмент расчёта).
  • Трубка Пито: разность полного и статического давлений = q → V (статья 17).
  • Анемометры: чашечный, лопастной, Пито-анемометры.
  • Дроссели и сопла: сужение → разгон → падение статического давления (статья 15).
  • «Подсасывание»: обтекание тел, работа обтекателей, «выгибание» потока (эффект Магнуса/Коэнда — с оговорками).
↑ К оглавлению

5. Ограничения: сжимаемость, вихри, трение

  • Сжимаемость: при Ma (числе Маха) выше ~0,3 воздух уже нельзя считать несжимаемым — Бернулли в простой форме теряет точность; нужны сжимаемые поправки (статья 18). Для гражданских БПЛА Ma обычно 0,05–0,25 — формула работает.
  • Вихри/турбулентность: Бернулли строго для потока без трения и вихрей. В реальном пограничном слое есть потери — но для оценки q и подъёма формула остаётся рабочей с коэффициентами Cy/Cx.
  • Не вдоль линии тока: нельзя сравнивать точки на разных линиях тока без оговорок (при безвихревости можно).
  • Ударные волны: при сверхзвуке — совсем другая картина (статья 18).
↑ К оглавлению

6. Типичные ошибки

  • «Бернулли объясняет всё»: подъём крыла — не только «быстрее сверху, медленнее снизу» (циркуляция важна); Бернулли — часть, а не вся картина.
  • Применять при Ma выше 0,3: на быстрых платформах/высоких скоростях нужна сжимаемая модель.
  • Путать q и p₀: q — только «кинетическая» часть; p₀ = p + q — приборное давление.
  • Игнорировать ρ: q зависит от плотности — на высотах и в жару q при той же V меньше (статьи 3, 7).
  • Считать «давление у поверхности = атмосферное»: у обтекаемой поверхности оно сильно отличается от p∞ (отсюда подъём/сопротивление).
↑ К оглавлению

7. Практика: типовые задачи (с решениями)

Задача 1. q при 30 м/с

Найти динамическую нагрузку q для V = 30 м/с при ρ = 1,225 кг/м³.

Решение. \( q = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 30^2 = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 900 = 551{,}25\ \text{Па} \).

Ответ: q ≈ 551 Па. Это та величина, которую «чувствует» крыло/рама при 108 км/ч.

Задача 2. Скорость по Пито

Дифференциальный датчик (Пито) показывает разность давлений 120 Па. Найти скорость полёта (ρ = 1,225 кг/м³).

Решение. \( \Delta p = q = \rho V^2/2 \Rightarrow V = \sqrt{2\Delta p/\rho} = \sqrt{240/1{,}225} = \sqrt{195{,}9} \approx 14{,}0\ \text{м/с} \).

Ответ: V ≈ 14 м/с (~50 км/ч). Вывод: скорость из Пито — корень из разности давлений; ошибка в ρ даёт ошибку в V как √ρ.

Задача 3. Ветровая нагрузка

Порыв ветра 15 м/с (ρ = 1,225) действует на обтекатель БПЛА площадью 0,1 м² (Cx ≈ 1,2). Найти силу лобового сопротивления.

Решение. \( q = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 15^2 = 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot 225 = 137{,}8\ \text{Па} \). \( X = C_x q S = 1{,}2 \cdot 137{,}8 \cdot 0{,}1 \approx 16{,}5\ \text{Н} \).

Ответ: ~16,5 Н (≈ 1,7 кгс). Вывод: даже «небольшой» порыв на крупную плоскую площадь даёт заметную силу — парусность влияет на удержание позиции.

Задача 4. Давление в шейке

Поток (V∞ = 12 м/с, p∞ = 101325 Па, ρ = 1,225) обтекает тело; в «шейке» скорость 16 м/с (задача 15.3). Найти статическое давление в шейке.

Решение. \( p = p_\infty + \frac{1}{2}\rho(V_\infty^2 - V^2) = 101325 + 0{,}5 \cdot 1{,}225 \cdot (144 - 256) = 101325 - 0{,}6125 \cdot 112 = 101325 - 68{,}6 \approx 101256\ \text{Па} \).

Ответ: p ≈ 101256 Па (−69 Па). Вывод: локальный разгон → локальное падение давления — «подсасывание» у «талии» тела.

Задача 5. Лимит по сжимаемости

При какой скорости полёта (при 15 °C, c ≈ 340 м/с) Ma достигает 0,3 — границы применимости «несжимаемого» Бернулли?

Решение. \( V = 0{,}3 \cdot 340 = 102\ \text{м/с} \) (~367 км/ч).

Ответ: ~102 м/с. Вывод: для большинства гражданских БПЛА (крейсер 20–40 м/с) запас по сжимаемости большой; для быстрых платформ 80–100 м/с — уже «на границе».
↑ К оглавлению

8. Чек-лист самопроверки знаний

Отметьте пункты, которые вы действительно понимаете и можете применить без подсказок.

✓НавыкПроверка
Форма Бернулли запишу p + q + ρgh = const
Статика/полное различу p, p₀, q
Скоростной напор посчитаю q = ρV²/2
Квадрат знаю, что V×2 → q×4
Пито найду V по Δp
Подъём/сопротивление связу Cy/Cx с q
Ограничения знаю про Ma 0,3, вихри, трение
ρ-зависимость учту высоту/жару
Практика оценю ветровую нагрузку
↑ К оглавлению

9. Источники

  1. Wikipedia, «Bernoulli's principle» — форма, статика/полное, q. en.wikipedia.org (рисунок)
  2. Wikipedia, «Dynamic pressure» — q = ½ρV², применение. en.wikipedia.org (рисунок)
  3. Wikipedia, «Lift (aerodynamics)» — подъём через q и Cy. en.wikipedia.org
  4. Wikipedia, «Drag (fluid dynamics)» — сопротивление через q и Cx. en.wikipedia.org
  5. Wikipedia, «Compressible flow» / «Mach number» — граница 0,3. en.wikipedia.org

Проверено: 02.09.2026.

↑ К оглавлению
  • мод. : Пятница, 04 сентября 2026