Четыре фундаментальных пространства матрицы

Четыре фундаментальных подпространства матрицы являются ключевыми понятиями в линейной алгебре и играют важную роль в понимании свойств матриц и систем линейных уравнений. Для матрицы размера $m × n$ , эти подпространства:

Пространство столбцов (Column Space) - C(A)
Пространство строк (Row Space) - C(Aᵀ)
Нулевое пространство (Null Space) - N(A)
Левое нулевое пространство (Left Null Space) - N(Aᵀ)

Взаимосвязи между подпространствами:

Ортогональное дополнение:

N(A) является ортогональным дополнением к C(Aᵀ) в $R^n$. Это означает, что каждый вектор в N(A) перпендикулярен каждому вектору в C(Aᵀ), и наоборот.
N(Aᵀ) является ортогональным дополнением к C(A) в $R^m$. Это означает, что каждый вектор в N(Aᵀ) перпендикулярен каждому вектору в C(A), и наоборот.

Фундаментальная теорема линейной алгебры: Эта теорема связывает размерности четырех фундаментальных подпространств с рангом матрицы:

$rank(A) + nullity(A) = n$ (количество столбцов A)
$rank(Aᵀ) + (m - rank(A)) = m$ (количество строк A)

1. Пространство столбцов (Column Space) матрицы

Пространство столбцов (Column Space) матрицы — это линейная оболочка, образованная всеми её столбцами. Другими словами, это множество всех векторов, которые можно получить как линейные комбинации столбцов матрицы.

Формальное определение

Пусть дана матрица $ A $ размера $ m \times n $:

$A = \begin{bmatrix} | & | & \dots & | \cr \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_n \cr | & | & \dots & | \end{bmatrix}$,

где $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_n$ — её столбцы (векторы из $ \mathbb{R}^m$).

Тогда пространство столбцов $\text{Col}(A)$ определяется как:

$Col(A) = span\left\{ a_1, a_2, ..., a_n\right\} = \left\{ \sum_{i=1}^{n}c_{i}a_{i}|c_{i}\in \mathbb{R}\right\}$.

Свойства

1. Размерность пространства столбцов равна рангу матрицы $ \text{rank}(A)$.
2. Если $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ принадлежит $\text{Col}(A$), то система $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ имеет решение.
3. Пространство столбцов — это подпространство $\mathbb{R}^m$.

Как найти базис пространства столбцов?

1. Метод Гаусса (приведение к ступенчатому виду):

Приведите матрицу $ A $ к ступенчатому виду $ U $.
Столбцы матрицы $ A $, соответствующие ведущим элементам в $ U $, образуют базис $ \text{Col}(A) $.
2. Через сингулярное разложение (SVD) или QR-разложение можно также найти ортонормированный базис $\text{Col}(A)$.

Пример:

Пусть дана матрица:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \cr 4 & 5 & 6 \cr 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$.

Её столбцы:
$\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix}1 \cr 4 \cr 7\end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix}2 \cr 5 \cr 8\end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix}3 \cr 6 \cr 9\end{bmatrix}$.

Пространство столбцов:

$\text{Col}(A) = span\left\{ a_1, a_2, a_3\right\}$.

Ранг матрицы $A$ равен 2 (так как третий столбец — линейная комбинация первых двух), значит, размерность $ \text{Col}(A) $ равна 2. Базисом могут служить, например, $ \mathbf{a}_1 $ и $ \mathbf{a}_2 $.

Применение

Используется при решении систем линейных уравнений $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $.
Важно в анализе линейных преобразований и в методах наименьших квадратов.

2. Пространство строк (Row Space) матрицы

Пространство строк (Row Space) матрицы ( A ) — это линейная оболочка, образованная всеми её строками. Обозначается как $ \text{Row}(A) $ или $ C(A^{\top}) $ (поскольку строки $ A $ — это столбцы транспонированной матрицы $ A^{\top} )$.

Формальное определение
Пусть дана матрица $ A $ размера ( m \times n ):

$A = \begin{bmatrix}
— & \mathbf{r}_1 & — \cr
— & \mathbf{r}_2 & — \cr
& \vdots & \cr
— & \mathbf{r}_m & —
\end{bmatrix}$,

где $ \mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \dots, \mathbf{r}_m $ — её строки (векторы из $ \mathbb{R}^n )$.

Тогда пространство строк определяется как:

$Row(A) = span\left\{ r_1, r_2, ..., r_m\right\} = \left\{ \sum_{i=1}^{m}c_{i}r_{i}|c_{i}\in \mathbb{R}\right\}$

Свойства

Размерность пространства строк равна рангу матрицы $ \text{rank}(A) $ (так же, как и у пространства столбцов).
Пространство строк — это подпространство $ \mathbb{R}^n $.
Фундаментальная связь с пространством столбцов:

$ \text{Row}(A) = \text{Col}(A^\top) $,
$ \dim \text{Row}(A) = \dim \text{Col}(A) = \text{rank}(A) $.

Размерность пространства строк матрицы $A$ (обозначается $\text{dim ⁡Row}(A)$) — это максимальное количество линейно независимых строк в матрице $A$. Она равна рангу матрицы $A$.

Как найти базис пространства строк?

Метод Гаусса (приведение к ступенчатому виду):

Приведите матрицу $ A $ к ступенчатому виду $ U $.
Ненулевые строки матрицы $ U $ образуют базис $ \text{Row}(A) $.

Через сингулярное разложение (SVD) можно найти ортонормированный базис.

Пример

Рассмотрим матрицу:

$A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \cr
4 & 5 & 6 \cr
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}$.

Её строки:

$\mathbf{r}_1 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}, \quad \mathbf{r}_2 = \begin{bmatrix}4 & 5 & 6\end{bmatrix}, \quad \mathbf{r}_3 = \begin{bmatrix}7 & 8 & 9\end{bmatrix}$.

Приводим $ A $ к ступенчатому виду:

$U = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \cr
0 & -3 & -6 \cr
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$.

Базис пространства строк:

Ненулевые строки $ U $, то есть:
$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}0 & -3 & -6\end{bmatrix}$.

Ранг матрицы $ A $ равен 2, поэтому размерность $ \text{Row}(A) $ тоже 2.

Связь с пространством столбцов

$ \text{Row}(A) $ и $ \text{Col}(A) $ имеют одинаковую размерность (равную $ \text{rank}(A) $), но лежат в разных пространствах $( \mathbb{R}^n $ и $ \mathbb{R}^m $ соответственно).
Ортогональное дополнение к $ \text{Row}(A) $ — это нуль-пространство (ядро) матрицы $ A $, то есть $ \text{Row}(A)^\perp = \text{Null}(A) $.

Применение

Используется в анализе линейных систем $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $.
Важно при изучении двойственности в линейной алгебре (связь между строками и столбцами).

3. Нулевое пространство (Null Space) - N(A)

Нулевое пространство (или ядро ) матрицы $ A $ — это множество всех векторов $ \mathbf{x} $, которые при умножении на $ A $ дают нулевой вектор: $N(A) = { \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} 0 \\0 \end{bmatrix} =\mathbf{0} }$.

1. Основные свойства

$ N(A) $ — подпространство $\mathbb{R}^n $, где $ n $ — число столбцов матрицы $ A $.
Размерность $ N(A) $ называется дефектом (nullity) матрицы $ A $ и обозначается $ \dim N(A) $.
Теорема о ранге и дефекте (— это фундаментальная теорема в линейной алгебре, устанавливающая связь между размерностью образа (пространства столбцов) и размерностью ядра (нулевого пространства) линейного преобразования):
$$\text{rank}(A) + \dim N(A) = n \quad (\text{число столбцов } A)$$

Это означает, что:

- $\text{rank}(A) = \dim \text{Col}(A) = \dim \text{Row}(A)$ (число линейно независимых столбцов/строк),
- $\dim N(A) = n - \text{rank}(A)$.

2. Как найти нулевое пространство?

Чтобы найти $ N(A) $, нужно решить однородную систему уравнений $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $:

1. Приведите матрицу $ A $ к ступенчатому виду (REF) методом Гаусса.
2. Определите свободные и ведущие переменные :

- Ведущие переменные соответствуют столбцам с ведущими элементами.
- Свободные переменные — остальные (их количество равно $ \dim N(A) $).

3. Выразите базисные векторы :

* Присвойте свободным переменным значения $ 1 $ (по очереди, остальные — нули).
* Решите систему для каждого случая, получая векторы базиса $ N(A) $.

3. Пример

Пусть дана матрица:$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \end{bmatrix}
$$

Шаг 1. Приводим $ A $ к ступенчатому виду :$$
U = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -3 & -6 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$

Ранг $ A $ : 2 (две ненулевые строки).
Дефект : $ \dim N(A) = 3 - 2 = 1 $.

Шаг 2. Решаем $ U\mathbf{x} = \mathbf{0} $ :$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0, \\
-3x_2 - 6x_3 = 0.
\end{cases}
$$

Свободная переменная : $ x_3 $ (т.к. третий столбец не содержит ведущий элемент).
Полагаем $ x_3 = 1 $, тогда:
- Из второго уравнения: $ x_2 = -2 $.
- Из первого: $ x_1 = 1 $.
Базис $N(A)$ :

$$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Итог : $$
N(A) = \text{span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.
$$

4. Геометрическая интерпретация

Для матрицы $ A $ размера $ m \times n $, $ N(A) $ — это множество векторов в $ \mathbb{R}^n $, которые $ A $ "сжимает" в ноль.
Если $ \dim N(A) = 0 $, то $ A $ инъективна (только $ \mathbf{x} = \mathbf{0} $ даёт $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $).

5. Применение

Решение неоднородных систем : Если $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $ имеет решение $ \mathbf{x}_0 $, то общее решение:
$
\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \mathbf{x}_h, \quad \text{где } \mathbf{x}_h \in N(A).
$
Проверка линейной независимости : Если $ N(A) = \{ \mathbf{0} \} $, то столбцы $ A $ линейно независимы.

6. Связь с другими пространствами

Ортогональное дополнение : $ N(A) $ ортогонально пространству строк $ \text{Row}(A) $ в $ \mathbb{R}^n$:

$$N(A) = \text{Row}(A)^{\perp}$$

Вывод :

Нулевое пространство характеризует "невидимые" для матрицы $ A $ направления в $ \mathbb{R}^n $. Его размерность показывает, насколько система $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ "богата" решениями.

4.Левое нулевое пространство матрицы A

Левое нулевое пространство матрицы $A$, обозначаемое как N(Aᵀ), — это множество всех векторов $y$ таких, что при умножении на транспонированную матрицу AAᵀ получается нулевой вектор. То есть:

N(Aᵀ) = { y | Aᵀy = 0 }

Или, эквивалентно, это множество всех векторов *yᵀ* (транспонированных y), таких что при умножении на матрицу A получается нулевой вектор:

N(Aᵀ) = { yᵀ | yᵀA = 0ᵀ } (где 0ᵀ - нулевой вектор-строка)

Ключевые характеристики и свойства:

Транспонирование: Ключевым элементом является то, что мы работаем с транспонированной матрицей Aᵀ.
Умножение слева: Традиционно, когда говорят о нулевом пространстве, имеют в виду умножение матрицы справа на вектор Ax = 0. В случае левого нулевого пространства мы умножаем слева транспонированную матрицу на вектор Aᵀy = 0. Отсюда и название “левое” нулевое пространство. Важно помнить, что если мы рассматриваем умножение слева *обычной* (не транспонированной) матрицы на вектор-строку yᵀA = 0ᵀ, то результатом будет *вектор-строка*, равный нулевому вектору-строке.
Решения однородной системы: N(Aᵀ) представляет собой множество решений однородной системы линейных уравнений Aᵀy = 0.
Подпространство: N(Aᵀ) является подпространством векторного пространства $R^m$, где m - количество строк матрицы A.
Размерность: Размерность N(Aᵀ) равна m - rank(A), где rank(A) - ранг матрицы A. Это прямое следствие теоремы о ранге и дефекте, примененной к матрице Aᵀ. rank(Aᵀ) = rank(A)
Ортогональное дополнение: N(Aᵀ) является ортогональным дополнением к пространству столбцов C(A) матрицы A в пространстве $R^m$. Это означает, что любой вектор в N(Aᵀ) ортогонален (перпендикулярен) любому вектору в C(A).

Значение и интерпретация:

Условия разрешимости: Левое нулевое пространство связано с условиями разрешимости системы линейных уравнений Ax = b. Система Ax = b имеет решение тогда и только тогда, когда вектор b ортогонален любому вектору y из N(Aᵀ). Это можно сформулировать так: для любого y ∈ N(Aᵀ) должно выполняться yᵀb = 0. Если это условие не выполняется, система Ax=b не имеет решения. Другими словами, если yᵀA = 0ᵀ, то чтобы Ax=b имело решение, должно выполняться yᵀb = 0.
Информация о строках A: Поскольку N(Aᵀ) - это нулевое пространство Aᵀ, векторы в N(Aᵀ) показывают линейные зависимости между строками матрицы A. Если y принадлежит N(Aᵀ), то линейная комбинация строк A с коэффициентами, заданными элементами y, равна нулевому вектору.
Анализ ошибок и невязок: В контексте численных методов, векторы из N(Aᵀ) могут использоваться для анализа ошибок и невязок в приближенных решениях системы линейных уравнений.
Задачи оптимизации: Левое нулевое пространство находит применение в задачах оптимизации, особенно в задачах с ограничениями.

Пример:

Пусть дана матрица:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ \end{bmatrix}$$

Найти N(Aᵀ):

1. Найдем транспонированную матрицу Aᵀ:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4\\ 3 & 6\\ \end{bmatrix}$$

2. Решим систему уравнений Aᵀy = 0:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4\\ 3 & 6\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y1\\y2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{bmatrix}$$

Это приводит к единственному уравнению: y1 + 2y2 = 0.

3. Выразим решение:

y1 = -2y2

Пусть y2 = t, тогда y1 = -2t.

Вектор y имеет вид y = (-2t, t) = t(-2, 1).

4. Базис для N(Aᵀ):

N(Aᵀ) порождается вектором (-2, 1). Размерность N(Aᵀ) равна 1:

(2 - rank(A) = 2 - 1 = 1).

Вывод:

Левое нулевое пространство N(Aᵀ) - это важное подпространство, связанное с матрицей A. Оно предоставляет информацию о линейных зависимостях между строками A, об условиях разрешимости системы Ax = b и находит применение в различных областях математики и ее приложений. Понимание левого нулевого пространства позволяет глубже понять свойства матриц и систем линейных уравнений.

Понедельник, 21 апреля 2025 53